【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=a+bx+c(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,
(1)求a、b滿足的關(guān)系式及c的值,
(2)當(dāng)x<0時(shí),若y=a+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨x的增大而增大,求a的取值范圍,
(3)如圖,當(dāng)a=1時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAB的面積為?若存在,請(qǐng)求出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由,
【答案】(1)b=3a+1;c=3;(2);(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(,)或(,)或(,)或(,).
【解析】
(1)求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),即可求解;
(2)當(dāng)x<0時(shí),若y=ax2+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨x的增大而增大,則函數(shù)對(duì)稱軸,而b=3a+1,即:,即可求解;
(3)過(guò)點(diǎn)P作直線l∥AB,作PQ∥y軸交BA于點(diǎn)Q,作PH⊥AB于點(diǎn)H,由S△PAB=,則=1,即可求解.
解:(1)y=x+3,令x=0,則y=3,令y=0,則x=,
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,3),則c=3,
則函數(shù)表達(dá)式為:y=ax2+bx+3,
將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式并整理得:b=3a+1;
(2)當(dāng)x<0時(shí),若y=ax2+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨x的增大而增大,
則函數(shù)對(duì)稱軸,
∵,
∴,
解得:,
∴a的取值范圍為:;
(3)當(dāng)a=時(shí),b=3a+1=
二次函數(shù)表達(dá)式為:,
過(guò)點(diǎn)P作直線l∥AB,作PQ∥y軸交BA于點(diǎn)Q,作PH⊥AB于點(diǎn)H,
∵OA=OB,
∴∠BAO=∠PQH=45°,
S△PAB=×AB×PH=××PQ×=,
則PQ==1,
在直線AB下方作直線m,使直線m和l與直線AB等距離,
則直線m與拋物線兩個(gè)交點(diǎn),分別與點(diǎn)AB組成的三角形的面積也為,
∴,
設(shè)點(diǎn)P(x,-x2-2x+3),則點(diǎn)Q(x,x+3),
即:-x2-2x+3-x-3=±1,
解得:或;
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(,)或(,)或(,)或(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖示,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)()交軸于,,在軸上有一點(diǎn),連接.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)是第二象限內(nèi)的點(diǎn)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)
①求面積最大值并寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
②若,求此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo);
(3)連接,點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).連接,把線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)等于______(直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為A(﹣3,0),C(1,0),tan∠BAC=.
(1)寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)在x軸上找一點(diǎn)D,連接BD,使得△ADB與△ABC相似(不包括全等),并求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,如果點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以2cm/秒的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以1cm/秒的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.問(wèn)是否存在這樣的t使得△APQ與△ADB相似?如存在,請(qǐng)求出t的值;如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)()的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),對(duì)稱軸為直線x=1,與y軸的交點(diǎn)B在(0,2)和(0,3)之間(包括這兩點(diǎn)),下列結(jié)論:
①當(dāng)x>3時(shí),y<0;
②3a+b<0;
③;
④;
其中正確的結(jié)論是( )
A.①③④B.①②③C.①②④D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)的圖像在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,圖像的其余部分保持不變,翻折后的圖像與原圖像x軸上方的部分組成一個(gè)形如“W”的新圖像,若直線y=-2x+b與該新圖像有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是__________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,正方形ABCD,點(diǎn)E是DC邊上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作AE的垂線交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)D作DH⊥CF,垂足為H,點(diǎn)O是AC中點(diǎn),連HO.
(1)如圖1,當(dāng)∠CAE=∠DAE時(shí),證明:AE=2CF;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AF與線段HO之間是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?若存在,證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)E為DC中點(diǎn)時(shí),AC=2,直接寫出AF的長(zhǎng) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,點(diǎn)P是圓上一動(dòng)點(diǎn),且與點(diǎn)C分別位于直徑AB的兩側(cè),,過(guò)點(diǎn)C作交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q;
(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),CQ恰好是⊙O的切線?
(2)若點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直徑AB對(duì)稱,且AB=5,求此時(shí)CQ的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m的部分圖象如圖所示,則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,正方形的頂點(diǎn),,點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),連接,作線段的垂直平分線交邊于點(diǎn),連接,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)時(shí),求線段的長(zhǎng);
(2)如圖2,若正方形的周長(zhǎng)為,的周長(zhǎng)為,記,試證明為定值;
(3)在(2)的條件下,構(gòu)造過(guò)點(diǎn)C的拋物線同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:
①;②當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值為,求二次項(xiàng)系數(shù)的值.
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