【題目】如圖,拋物線y=﹣(x+1)(x﹣9)與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點,D為頂點,連結(jié)AC,BC.點P是該拋物線在第一象限內(nèi)上的一點.過點P作y軸的平行線交BC于點E,連結(jié)AP交BC于點F,則的最大值為_______.
【答案】
【解析】
根據(jù)拋物線的解析式求得A、B、C的坐標(biāo),進而求得AB、BC、AC的長,根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式,作PN⊥BC,垂足為N.先證明△PNE∽△BOC,由相似三角形的性質(zhì)可知PN=PE,然后再證明△PFN∽△AFC,由相似三角形的性質(zhì)可得到PF:AF與m的函數(shù)關(guān)系式,從而可求得的最大值.
∵拋物線y=﹣(x+1)(x﹣9)與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點,
∴A(﹣1,0),B(9,0),
令x=0,則y=3,
∴C(0,3),
∴BC,
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b.
∵將B、C的坐標(biāo)代入得:,解得k=﹣,b=3,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m,則縱坐標(biāo)為﹣(m+1)(m﹣9),點E(m,﹣m+3),
∴PE=﹣(m+1)(m﹣9)﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m.
作PN⊥BC,垂足為N.
∵PE∥y軸,PN⊥BC,
∴∠PNE=∠COB=90°,∠PEN=∠BCO.
∴△PNE∽△BOC.
∴===.
∴PN=PE=(-m2+3m).
∵AB2=(9+1)2=100,AC2=12+32=10,BC2=90,
∴AC2+BC2=AB2.
∴∠BCA=90°,
又∵∠PFN=∠CFA,
∴△PFN∽△AFC.
∴===﹣m2+m=﹣(m﹣)2+.
∵,
∴當(dāng)m時,的最大值為.
故答案為:.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,點A,C的坐標(biāo)分別為A(﹣3,0),C(1,0),tan∠BAC=.
(1)寫出點B的坐標(biāo);
(2)在x軸上找一點D,連接BD,使得△ADB與△ABC相似(不包括全等),并求點D的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,如果點P從點A出發(fā),以2cm/秒的速度沿AB向點B運動,同時點Q從點D出發(fā),以1cm/秒的速度沿DA向點A運動.當(dāng)一個點停止運動時,另一個點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t.問是否存在這樣的t使得△APQ與△ADB相似?如存在,請求出t的值;如不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,點P是圓上一動點,且與點C分別位于直徑AB的兩側(cè),,過點C作交PB的延長線于點Q;
(1)當(dāng)點P運動到什么位置時,CQ恰好是⊙O的切線?
(2)若點P與點C關(guān)于直徑AB對稱,且AB=5,求此時CQ的長.
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【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m的部分圖象如圖所示,則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解為_____.
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【題目】如圖①,是一張直角三角形紙片,∠B=90°,AB=12,BC=8,小明想從中剪出一個以∠B為內(nèi)角且面積最大的矩形,經(jīng)過操作發(fā)現(xiàn),當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時,所得的矩形的面積最大.
(1)請通過計算說明小明的猜想是否正確;
(2)如圖②,在△ABC中,BC=10,BC邊上的高AD=10,矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上,頂點Q、M在邊BC上,求矩形PQMN面積的最大值;
(3)如圖③,在五邊形ABCDE中,AB=16,BC=20,AE=10,CD=8,∠A=∠B=∠C=90°.小明從中剪出了一個面積最大的矩形(∠B為所剪出矩形的內(nèi)角),求該矩形的面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,,形狀相同的拋物線的頂點在直線上,其對稱軸與軸的交點的橫坐標(biāo)依次為2,3,5,18,13,…,根據(jù)上述規(guī)律,拋物線的頂點坐標(biāo)為_________.
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,正方形的頂點,,點為邊上一動點(不與端點重合),連接,作線段的垂直平分線交邊于點,連接,過點作交于點.
(1)如圖1,當(dāng)點為線段AB的中點時,求線段的長;
(2)如圖2,若正方形的周長為,的周長為,記,試證明為定值;
(3)在(2)的條件下,構(gòu)造過點C的拋物線同時滿足以下兩個條件:
①;②當(dāng)時,函數(shù)的最大值為,求二次項系數(shù)的值.
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【題目】將二次函數(shù)y=ax2的圖象先向下平移2個單位,再向右平移3個單位,截x軸所得的線段長為4,則a=( )
A.1B.C.D.
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