【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB是直徑,作OD∥BC與過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)D,連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若AE=6,CE=2 . ①求⊙O的半徑
②求線段CE,BE與劣弧 所圍成的圖形的面積(結(jié)果保留根號(hào)和π)

【答案】
(1)解:連結(jié)OC,如圖,

∵AD為⊙O的切線,

∴AD⊥AB,

∴∠BAD=90°,

∵OD∥BC,

∴∠1=∠3,∠2=∠4,

∵OB=OC,

∴∠3=∠4,

∴∠1=∠2,

在△OCD和△OAD中, ,

∴△AOD≌△COD(SAS);

∴∠OCD=∠OAD=90°,

∴OC⊥DE,

∴DE是⊙O的切線


(2)解:①設(shè)半徑為r,則OE=AE﹣OA=6﹣r,OC=r,

在Rt△OCE中,∵OC2+CE2=OE2

∴r2+(2 2=(6﹣r)2,解得r=2,

②∵tan∠COE= = = ,

∴∠COE=60°,

∴S陰影部分=SCOE﹣S扇形BOC

= ×2×2

=2 π


【解析】(1)連結(jié)OC,如圖,先根據(jù)切線的性質(zhì)得∠BAD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì),由OD∥BC得∠1=∠3,∠2=∠4,加上∠3=∠4,則∠1=∠2,接著證明△AOD≌△COD,得到∠OCD=∠OAD=90°,于是可根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線;(2)①設(shè)半徑為r,則OE=AE﹣OA=6﹣r,OC=r,在Rt△OCE中利用勾股定理得到r2+(2 2=(6﹣r)2 , 解得r;②利用正切函數(shù)求出∠COE=60°,然后根據(jù)扇形面積公式和S陰影部分=SCOE﹣S扇形BOC進(jìn)行計(jì)算即可.
【考點(diǎn)精析】掌握三角形的外接圓與外心和切線的性質(zhì)定理是解答本題的根本,需要知道過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心;切線的性質(zhì):1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①x<﹣1;②﹣1≤x<2;③x≥2.

從而化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|可分以下3種情況:

當(dāng)x<﹣1時(shí),原式=﹣(x+1)﹣(x﹣2)=﹣2x+1;

當(dāng)﹣1≤x<2時(shí),原式=x+1﹣(x﹣2)=3;

當(dāng)x≥2時(shí),原式=x+1+x﹣2=2x﹣1.綜上討論,原式=

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果汁飲料

碳酸飲料

進(jìn)價(jià)(元/箱)

55

36

售價(jià)(元/箱)

63

42

設(shè)購(gòu)進(jìn)果汁飲料x箱(x為正整數(shù)),且所購(gòu)進(jìn)的兩種飲料能全部賣出,獲得的總利潤(rùn)為w元(注:總利潤(rùn)=總售價(jià)﹣總進(jìn)價(jià)).
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