Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點(diǎn)，F為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB，則PB的最小值是_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BP⊥P1P2時(shí)，PB取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值為BP1的長(zhǎng)，由勾股定理求解即可．

如圖：

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在P1處，CP1=DP1，

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2=DP2，

∴P1P2∥CE且P1P2=CE，

當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DP=FP，由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P=CF，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，

∴當(dāng)BP⊥P1P2時(shí)，PB取得最小值，

∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點(diǎn)，

∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1=2，

∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，

∴∠DP2P1=90°，

∴∠DP1P2=45°，

∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，

∴BP的最小值為BP1的長(zhǎng)，

在等腰直角△BCP1中，CP1=BC=2

∴BP1=2，

∴PB的最小值是2.

故答案為：2．