【題目】如圖,在直角坐標系xOy中,二次函數(shù)y=x2+(2k﹣1)x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式;

(2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B,使AOB的面積等于6,求點B的坐標;

(3)對于(2)中的點B,在此拋物線上是否存在點P,使POB=90°?若存在,求出點P的坐標,并求出POB的面積;若不存在,請說明理由.

【答案】解:(1)函數(shù)的圖象與x軸相交于O,0=k+1,k=﹣1。

這個二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣3x。

(2)如圖,過點B做BDx軸于點D,

令x2﹣3x=0,解得:x=0或3。AO=3。

∵△AOB的面積等于6,AOBD=6。BD=4。

點B在函數(shù)y=x2﹣3x的圖象上,

4=x2﹣3x,解得:x=4或x=﹣1(舍去)。

頂點坐標為:( 1.5,﹣2.25),且2.25<4,

x軸下方不存在B點。

點B的坐標為:(4,4)。

(3)存在。

點B的坐標為:(4,4),∴∠BOD=45°,

POB=90°,POD=45°。

設P點坐標為(x,x2﹣3x)。

。

,解得x=4 或x=0(舍去)。此時不存在點P(與點B重合)。

,解得x=2 或x=0(舍去)。

當x=2時,x2﹣3x=﹣2。

點P 的坐標為(2,﹣2)。

。

POB=90°,∴△POB的面積為: POBO=××=8。

解析(1)將原點坐標代入拋物線中即可求出k的值,從而求得拋物線的解析式。

(2)根據(jù)(1)得出的拋物線的解析式可得出A點的坐標,也就求出了OA的長,根據(jù)OAB的面積可求出B點縱坐標的絕對值,然后將符合題意的B點縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出B點的坐標,然后根據(jù)B點在拋物線對稱軸的右邊來判斷得出的B點是否符合要求即可。

(3)根據(jù)B點坐標可求出直線OB的解析式,由于OBOP,由此可求出P點的坐標特點,代入二次函數(shù)解析式可得出P點的坐標.求POB的面積時,求出OB,OP的長度即可求出BOP的面積。

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