Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接BC，若點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P作直線PN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)△BCM面積最大時(shí)，求△BPN的周長．

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△BCM面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△CNQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2） （3）見解析

【解析】

（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入到解析式中求解即可；

（2）求得直線BC的解析式，然后求出△BCM的表達(dá)式，是一個(gè)二次函數(shù)，求出其取最大值的條件；然后利用勾股定理求出△BPN的周長；

（3）C、N坐標(biāo)已知設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，a），根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式表示出CQ、QN、CN然后分三種情況：①CQ＝QN；②CQ＝CN；③QN＝CN進(jìn)行列式解答.

解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）坐標(biāo)代入解析式中得：，解得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，

則有：，解得：，

∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3．

設(shè)P（x，﹣x+3），則M（x，﹣x2+2x+3），

∴PM＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．

∴

，

∴

∴當(dāng)時(shí)，△BCM的面積最大．

此時(shí)，

∴PN＝ON＝，

∴，

在Rt△BPN中，由勾股定理得：，

，

∴當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，△BPN的周長為；

（3）由（2）知P點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，

設(shè)Q（1，a），∵C（0，3），，

∴，（兩點(diǎn)之間距離公式），

若△CNQ為等腰三角形，可分三種情況：

①當(dāng)CQ＝QN時(shí)，，解得：，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，

②當(dāng)CQ＝CN時(shí)，，解得：，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，

③當(dāng)QN＝CN時(shí)，，解得：，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，

綜合以上可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或或或．