Question

【題目】問題的提出：n個(gè)平面最多可以把空間分割成多少個(gè)部分？
問題的轉(zhuǎn)化：由n上面問題比較復(fù)雜，所以我們先來研究跟它類似的一個(gè)較簡單的問題：
n條直線最多可以把平面分割成多少個(gè)部分？
如圖1，很明顯，平面中畫出1條直線時(shí)，會(huì)得到1+1=2個(gè)部分；所以，1條直線最多可以把平面分割成2個(gè)部分；
如圖2，平面中畫出第2條直線時(shí)，新增的一條直線與已知的1條直線最多有1個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)會(huì)把新增的這條直線分成2部分，從而多出2個(gè)部分，即總共會(huì)得到1+1+2=4個(gè)部分，所以，2條直線最多可以把平面分割成4個(gè)部分；
如圖3，平面中畫出第3條直線時(shí)，新增的一條直線與已知的2條直線最多有2個(gè)交點(diǎn)，這2個(gè)交點(diǎn)會(huì)把新增的這條直線分成3部分，從而多出3個(gè)部分，即總共會(huì)得到1+1+2+3=7個(gè)部分，所以，3條直線最多可以把平面分割成7個(gè)部分；
平面中畫出第4條直線時(shí)，新增的一條直線與已知的3條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)，這3個(gè)交點(diǎn)會(huì)把新增的這條直線分成4部分，從而多出4個(gè)部分，即總共會(huì)得到1+1+2+3+4=11個(gè)部分，所以，4條直線最多可以把平面分割成11個(gè)部分；…

（1）請(qǐng)你仿照前面的推導(dǎo)過程，寫出“5條直線最多可以把平面分割成多少個(gè)部分”的推導(dǎo)過程（只寫推導(dǎo)過程，不畫圖）；
（2）根據(jù)遞推規(guī)律用n的代數(shù)式填空：n條直線最多可以把平面分割成個(gè)部分．
問題的解決：借助前面的研究，我們繼續(xù)開頭的問題；n個(gè)平面最多可以把空間分割成多少個(gè)部分？
首先，很明顯，空間中畫出1個(gè)平面時(shí)，會(huì)得到1+1=2個(gè)部分；所以，1個(gè)平面最多可以把空間分割成2個(gè)部分；
空間中有2個(gè)平面時(shí)，新增的一個(gè)平面與已知的1個(gè)平面最多有1條交線，這1條交線會(huì)把新增的這個(gè)平面最多分成2部分，從而多出2個(gè)部分，即總共會(huì)得到1+1+2=4個(gè)部分，所以，2個(gè)平面最多可以把空間分割成4個(gè)部分；
空間中有3個(gè)平面時(shí)，新增的一個(gè)平面與已知的2個(gè)平面最多有2條交線，這2條交線會(huì)把新增的這個(gè)平面最多分成4部分，從而多出4個(gè)部分，即總共會(huì)得到1+1+2+4=8個(gè)部分，所以，3個(gè)平面最多可以把空間分割成8個(gè)部分；
空間中有4個(gè)平面時(shí)，新增的一個(gè)平面與已知的3個(gè)平面最多有3條交線，這3條交線會(huì)把新增的這個(gè)平面最多分成7部分，從而多出7個(gè)部分，即總共會(huì)得到1+1+2+4+7=15個(gè)部分，所以，4個(gè)平面最多可以把空間分割成15個(gè)部分；
空間中有5個(gè)平面時(shí)，新增的一個(gè)平面與已知的4個(gè)平面最多有4條交線，這4條交線會(huì)把新增的這個(gè)平面最多分成11部分，而從多出11個(gè)部分，即總共會(huì)得到1+1+2+4+7+11=26個(gè)部分，所以，5個(gè)平面最多可以把空間分割成26個(gè)部分；…
（3）請(qǐng)你仿照前面的推導(dǎo)過程，寫出“6個(gè)平面最多可以把空間分割成多少個(gè)部分？”的推導(dǎo)過程（只寫推導(dǎo)過程，不畫圖）；
（4）根據(jù)遞推規(guī)律填寫結(jié)果：10個(gè)平面最多可以把空間分割成個(gè)部分；
（5）設(shè)n個(gè)平面最多可以把空間分割成Sn個(gè)部分，設(shè)n﹣1個(gè)平面最多可以把空間分割成Sn﹣1個(gè)部分，前面的遞推規(guī)律可以用Sn﹣1和n的代數(shù)式表示Sn；這個(gè)等式是Sn= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)規(guī)律得，平面中畫出第5條直線時(shí)，新增的一條直線與已知的4條直線最多有4個(gè)交點(diǎn)，這4個(gè)交點(diǎn)會(huì)把新增的這條直線分成5部分，從而多出5個(gè)部分，即總共會(huì)得到1+1+2+3+4+5=16個(gè)部分，所以，5條直線最多可以把平面分割成16個(gè)部分
（2）1+
（3）解：根據(jù)規(guī)律得，空間中有6個(gè)平面時(shí)，新增的一個(gè)平面與已知的5個(gè)平面最多有5條交線，這5條交線會(huì)把新增的這個(gè)平面最多分成16部分，而從多出16個(gè)部分，即總共會(huì)得到1+1+2+4+7+11+16=42個(gè)部分，所以，6個(gè)平面最多可以把空間分割成42個(gè)部分
（4）176
（5）Sn﹣1+[1+ ]
【解析】解：（2）根據(jù)規(guī)律得，n條直線最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+n=1+ ，

所以答案是1+ ；

⑷根據(jù)規(guī)律得，空間中有10個(gè)平面時(shí)，新增的一個(gè)平面與已知的9個(gè)平面最多有9條交線，這9條交線會(huì)把新增的這個(gè)平面最多分成37部分，而從多出37個(gè)部分，即總共會(huì)得到1+1+2+4+7+11+16+…+37=176個(gè)部分，所以，10個(gè)平面最多可以把空間分割成176個(gè)部分；

所以答案是：176；

⑸根據(jù)規(guī)律得，空間中有n個(gè)平面時(shí)，新增的一個(gè)平面與已知的（n﹣1）個(gè)平面最多有（n﹣1）條交線，這（n﹣1）條交線會(huì)把新增的這個(gè)平面最多分成[1+ ]部分，

∴Sn=Sn﹣1+[1+ ]

所以答案是：Sn﹣1+[1+ ]．