Question

【題目】如圖乙，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點P為射線BD，CE的交點．

（1）如圖甲，將△ADE繞點A旋轉，當C、D、E在同一條直線上時，連接BD、BE，則下列給出的四個結論中，其中正確的是哪幾個　 　．（回答直接寫序號）

①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）

（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE繞點A旋轉：

①當∠CAE＝90°時，求PB的長；

②直接寫出旋轉過程中線段PB長的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）①②③；（2）①PB＝或；②PB長的最大值是3+3，PB長的最小值是3﹣3．

【解析】

（1）①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結論②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出∠BDC＝90°，進而得出結論；③由條件知∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝45°，由∠ABD＝∠ACE就可以得出結論；④△BDE為直角三角形就可以得出BE2＝BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，就有BC2＝BD2+CD2≠BD2就可以得出結論．

（2）①分兩種情形a、如圖乙﹣1中，當點E在AB上時，BE＝AB﹣AE＝3．由△PEB∽△AEC，得，由此即可解決問題．b、如圖乙﹣2中，當點E在BA延長線上時，BE＝9．解法類似．

②a、如圖乙﹣3中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．b、如圖乙﹣4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PB的值最小，分別求出PB即可．

（1）解：如圖甲：

①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE．

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∴①正確．

②∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE．

∵∠CAB＝90°，

∴∠ABD+∠AFB＝90°，

∴∠ACE+∠AFB＝90°．

∵∠DFC＝∠AFB，

∴∠ACE+∠DFC＝90°，

∴∠FDC＝90°．

∴BD⊥CE，∴②正確．

③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ABC＝45°，

∴∠ABD+∠DBC＝45°．

∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正確．

④∵BD⊥CE，

∴BE2＝BD2+DE2，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，

∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，

∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，

∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，

∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④錯誤．

故答案為①②③．

（2）①解：a、如圖乙﹣1中，當點E在AB上時，BE＝AB﹣AE＝3．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA＝∠ECA．

∵∠PEB＝∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴，

∴，

∴PB＝．

b、如圖乙﹣2中，當點E在BA延長線上時，BE＝9．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝，

同（1）可證△ADB≌△AEC．

∴∠DBA＝∠ECA．

∵∠BEP＝∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB＝．

綜上，PB＝或．

②解：a、如圖乙﹣3中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．

理由：此時∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，

∴EC＝，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，

∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，

∴四邊形AEPD是矩形，

∴PD＝AE＝2，

∴PB＝BD+PD＝3+3．

綜上所述，PB長的最大值是3+3．

b、如圖乙﹣4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PB的值最�。�

理由：此時∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最小，因此PB最�。�

∵AE⊥EC，

∴EC＝，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，

∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，

∴四邊形AEPD是矩形，

∴PD＝AE＝4，

∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．

綜上所述，PB長的最小值是3﹣3．