【題目】(模型建立)
(1)如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,直線ED經(jīng)過點(diǎn)C,過A作AD⊥ED于點(diǎn)D,過B作BE⊥ED于點(diǎn)E.
求證:△CDA≌△BEC.
(模型運(yùn)用)
(2)如圖2,直線l1:y=x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至直線l2,求直線l2的函數(shù)表達(dá)式.
(模型遷移)
如圖3,直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且與x軸正半軸的夾角為30°,點(diǎn)A在直線l上,點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到BP,過點(diǎn)B的直線BC交x軸于點(diǎn)C,∠OCB=30°,點(diǎn)B到x軸的距離為2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)見解析;(2);(3)點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,0)或(﹣4,0)
【解析】
(1)由“AAS”可證△CDA≌△BEC;
(2)如圖2,在l2上取D點(diǎn),使AD=AB,過D點(diǎn)作DE⊥OA,垂足為E,由(1)可知△BOA≌△AED,可得DE=OA=3,AE=OB=4,可求點(diǎn)D坐標(biāo),由待定系數(shù)法可求解析式;
(3)分兩種情況討論,通過證明△OAP≌△CPB,可得OP=BC=4,即可求點(diǎn)P坐標(biāo).
(1)證明:∵AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠D=∠E=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
∴∠ACD=∠CBE,
又CA=BC,∠D=∠E=90°
∴△CDA≌△BEC(AAS)
(2)如圖2,在l2上取D點(diǎn),使AD=AB,過D點(diǎn)作DE⊥OA,垂足為E
∵直線y=x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,
∴A(﹣3,0),B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
由(1)得△BOA≌△AED,
∴DE=OA=3,AE=OB=4,
∴OE=7,
∴D(﹣7,3)
設(shè)l2的解析式為y=kx+b,
得
解得
∴直線l2的函數(shù)表達(dá)式為:
(3)若點(diǎn)P在x軸正半軸,如圖3,過點(diǎn)B作BE⊥OC,
∵BE=2,∠BCO=30°,BE⊥OC
∴BC=4,
∵將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到BP,
∴AP=BP,∠APB=30°,
∵∠APC=∠AOC+∠OAP=∠APB+∠BPC,
∴∠OAP=∠BPC,且∠OAC=∠PCB=30°,AP=BP,
∴△OAP≌△CPB(AAS)
∴OP=BC=4,
∴點(diǎn)P(4,0)
若點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸,如圖4,過點(diǎn)B作BE⊥OC,
∵BE=2,∠BCO=30°,BE⊥OC
∴BC=4,
∵將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到BP,
∴AP=BP,∠APB=30°,
∵∠APE+∠BPE=30°,∠BCE=30°=∠BPE+∠PBC,
∴∠APE=∠PBC,
∵∠AOE=∠BCO=30°,
∴∠AOP=∠BCP=150°,且∠APE=∠PBC,PA=PB
∴△OAP≌△CPB(AAS)
∴OP=BC=4,
∴點(diǎn)P(﹣4,0)
綜上所述:點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,0)或(﹣4,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在6×8的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,原點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn).
(1)以O為位似中心,在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′,使△A′B′C′與△ABC位似,且位似比為1:2;(保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明)
(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為( , ),點(diǎn)C′的坐標(biāo)為( , ),S△A′B′C′:S△ABC= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊AB上,連接CF交線段BE于點(diǎn)G,CG2=GEGD.
(1)求證:∠ACF=∠ABD;
(2)連接EF,求證:EFCG=EGCB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國(guó)高鐵近年來用震驚世界的速度不斷發(fā)展,已成為當(dāng)代中國(guó)一張耀眼的“國(guó)家名片”。修建高鐵時(shí)常常要逢山開道、遇水搭橋。如圖,某高鐵在修建時(shí)需打通一直線隧道MN(M、N為山的兩側(cè)),工程人員為了計(jì)算MN兩點(diǎn)之間的直線距離,選擇了在測(cè)量點(diǎn)A、B、C進(jìn)行測(cè)量,點(diǎn)B、C分別在AM、AN上,現(xiàn)測(cè)得AM=1200米,AN=2000米,AB=30米,BC=45米,AC=18米,求直線隧道MN的長(zhǎng)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,.
(1)若,作,點(diǎn)在內(nèi).
①如圖1,延長(zhǎng)交于點(diǎn),若,,則的度數(shù)為 ;
②如圖2,垂直平分,點(diǎn)在上,,求的值;
(2)如圖3,若,點(diǎn)在邊上,,點(diǎn)在邊上,連接,,,求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為鈍角三角形,將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到,連接,若,則的度數(shù)為
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1,5),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3),C點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,3),D點(diǎn)的坐 標(biāo)為(3,﹣1),小明發(fā)現(xiàn):線段AB與線段CD存在一種特殊關(guān)系,即其中一條線段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可以得到另一條線段,你認(rèn)為這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB為半圓O的直徑,C是半圓O上一點(diǎn),過點(diǎn)C作AB的平行線交⊙O于點(diǎn)E,連接AC、BC、AE,EB. 過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G,交EB于點(diǎn)H.
(1)求證:∠BCG=∠EBG;
(2)若,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,有以下結(jié)論:
①abc>0,
②a﹣b+c<0,
③2a=b,
④4a+2b+c>0,
⑤若點(diǎn)(﹣2,)和(,)在該圖象上,則.
其中正確的結(jié)論是 (填入正確結(jié)論的序號(hào)).
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