Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝15cm，BC＝12cm，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A﹣D﹣B﹣C向終點(diǎn)C出發(fā)，速度為5cm/s，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，作PE⊥AB交線段AB于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△APE的面積為S（cm2）．

（1）寫出線段AB的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，求PE的長(zhǎng)（用含t的式子表示）；

（3）當(dāng)點(diǎn)P沿A﹣D﹣B運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含t的代數(shù)式表示S；

（4）點(diǎn)E關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E′，當(dāng)點(diǎn)E′落在△ABC的內(nèi)部時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）12﹣4t；（3）S＝；（4）＜t＜3或3＜t＜3.9

【解析】

（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．

（2）只要證明△PBE∽△CAB，可得，由此即可解決問(wèn)題．

（3）分兩種情形討論①當(dāng)0＜t≤3時(shí)．②當(dāng)3＜t＜6時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式求出AE、PE即可解決問(wèn)題．

（4）求出兩個(gè)特殊點(diǎn)的時(shí)間①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)E′在線段AC上時(shí)．如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)E關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)E′在線段AC上時(shí)．即可解決問(wèn)題．

（1）∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝15cm，BC＝12cm，

∴AB＝，

即AB的長(zhǎng)為9；

（2）∵PE⊥AB，BC⊥AB，

∴PE∥BC，∠ABC＝∠BEP＝90°，

∴∠EPB＝∠PBC，

∵點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，

∴BD＝CD＝AC，

∴∠DBC＝∠DCB，

∴∠EPB＝∠DCB，

∴△PBE∽△CAB，

∴

∴，

∵BP＝15﹣5t，

∴PE＝12﹣4t．

（3）當(dāng)0＜t≤3時(shí)

AE＝5t×＝3t，PE＝5t×＝4t，

S＝PEAE＝4t3t＝6t2，

∴S＝6t2．

當(dāng)3＜t＜6時(shí)，

AE＝9﹣（15﹣5t）×＝3t，PE＝（15﹣5t）×＝12﹣4t，

S＝PEAE＝3t（12﹣4t）＝﹣6t2+18t．

∴S＝﹣6t2+18t，

綜上所述，S＝．

（4）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)E′在線段AC上時(shí)．作PE′⊥AC于E′，則PE＝PE′

∵，

∴ ，

∴，

∴PD＝，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間＝（）÷5＝s，

觀察圖象可知當(dāng)＜t＜3時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E′落在△ABC的內(nèi)部．

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)E關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)E′在線段AC上時(shí)．

同理可得，

∴，

∴PB＝4.5，

∴∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間＝（+4.5）÷5＝3.9s

觀察圖象可知當(dāng)3＜t＜3.9時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E′落在△ABC的內(nèi)部．

綜上所述，當(dāng)＜t＜3或3＜t＜3.9時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E′落在△ABC的內(nèi)部．