【題目】如圖,為的直徑,于點(diǎn),是上一點(diǎn),且,延長至點(diǎn),連接,使,延長與交于點(diǎn),連結(jié),.
(1)連結(jié),求證:;
(2)求證:是的切線;
(3)若,,求的值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CDB=∠FBD,然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BCD=∠F,最后利用AAS即可證出結(jié)論;
(2)連接OC,根據(jù)圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)證出∠COB=∠CEB,然后根據(jù)等邊對(duì)等角、直角三角形的性質(zhì)和等量代換即可求出∠OCP=90°,最后根據(jù)切線的判定定理即可證出結(jié)論;
(3)連接AC,先證出∠F=∠A=∠BCG,根據(jù)等角的正切值相等可得,設(shè)CG=2x,則AG=3x,BG=,然后根據(jù)題意列出方程即可求出CG、AG、BG、AB,然后根據(jù)垂徑定理求出DG,最后根據(jù)tan∠COB = tan∠CEB,即可求出結(jié)論.
解:(1)∵
∴∠CDB=∠FBD
∵
∴∠BCD=∠F
在△BCD和△DFB中
∴
(2)連接OC
∵∠COB=2∠CDB,∠CEB=∠EDB+∠EBD=2∠EDB
∴∠COB=∠CEB
∵
∴∠PCE=∠CEB
∴∠COB=∠PCE
∵
∴∠OGC=90°
∴∠COB+∠OCG=90°
∴∠PCE+∠OCG=90°
∴∠OCP=90°
即OC⊥PC
∴是的切線;
(3)連接AC
∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠ACG=90°,∠BCG+∠ACG=90°
∴∠A=∠BCG
∵
∴∠F=∠A=∠BCG
∴
設(shè)CG=2x,則AG=3x,BG=
∵
∴
∴CG=,AG=,BG=
∴AB=AG+BG=,DG=CG=
∴OB=AB=
∴OG=OB-BG=
由(2)知∠COB=∠CEB
∴tan∠COB = tan∠CEB
∴
即
解得:GE=
∴ED=DG-GE=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝店同時(shí)購進(jìn)甲、乙兩種款式的運(yùn)動(dòng)服共套,進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表中所示,設(shè)購進(jìn)甲款運(yùn)動(dòng)服套(為正整數(shù)),該服裝店售完全部甲、乙兩款運(yùn)動(dòng)服獲得的總利潤為元.
運(yùn)動(dòng)服款式 | 甲款 | 乙款 |
進(jìn)價(jià)(元套) | ||
售價(jià)(元套) |
(1)求與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該服裝店計(jì)劃投入萬元購進(jìn)這兩款運(yùn)動(dòng)服,則至少購進(jìn)多少套甲款運(yùn)動(dòng)服?若售完全部的甲、乙兩款運(yùn)動(dòng)服,則服裝店可獲得的最大利潤是多少元?
(3)在(2)的條件下,若服裝店購進(jìn)甲款運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)價(jià)降低元(其中),且最多購進(jìn)套甲款運(yùn)動(dòng)服,若服裝店保持這兩款運(yùn)動(dòng)服的售價(jià)不變,請(qǐng)你設(shè)計(jì)出使該服裝店獲得最大銷售利潤的購進(jìn)方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中,將參賽兩個(gè)班學(xué)生的成績(得分均為整數(shù))進(jìn)行整理后分成五組,繪制出如下的頻率分布直方圖(如圖所示),已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.25、0.15、0.10、0.10,第二組的頻數(shù)是40.
(1)第二小組的頻率是_____,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(2)這兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)是_________;
(3)這兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績的中位數(shù)落在第______組內(nèi).(不必說明理由)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,,是上一點(diǎn),連接
(1)如圖1,若,是延長線上一點(diǎn),與垂直,求證:
(2)過點(diǎn)作,為垂足,連接并延長交于點(diǎn).
①如圖2,若,求證:
②如圖3,若是的中點(diǎn),直接寫出的值(用含的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形的邊長為,在正方形外,,過作于,直線,交于點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( )
①;②;③;
④若,則
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】象棋是棋類益智游戲,中國象棋在中國有著三千多年的歷史,由于用具簡單,趣味性強(qiáng),成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).李凱和張萌利用象棋棋盤和棋子做游戲.李凱將四枚棋子反面朝上放在棋盤上,其中有兩個(gè)“兵”、一個(gè)“馬”、一個(gè)“士”,張萌隨機(jī)從這四枚棋子中摸一枚棋子,記下正漢字,然后再從剩下的三枚棋子中隨機(jī)摸一枚.
(1)求張萌第一次摸到的棋子正面上的漢字是“兵”的概率;
(2)游戲規(guī)定:若張萌兩次摸到的棋子中有“士”,則張萌勝;否則,李凱勝.請(qǐng)你用樹狀圖或列表法求李凱勝的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、不重合時(shí),過點(diǎn)作交折線于點(diǎn),以為邊向左作正方形.設(shè)正方形與重疊部分圖形的面積為(平方單位),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(秒).
備用圖
(1)用含的代數(shù)式表示的長.
(2)直接寫出點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)的取值范圍.
(3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)直接寫出點(diǎn)落在的中位線所在直線上時(shí)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(操作發(fā)現(xiàn))如圖(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=45°,連接AC,BD交于點(diǎn)M.
①AC與BD之間的數(shù)量關(guān)系為 ;
②∠AMB的度數(shù)為 ;
(類比探究)如圖(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,連接AC,交BD的延長線于點(diǎn)M.請(qǐng)計(jì)算的值及∠AMB的度數(shù);
(實(shí)際應(yīng)用)如圖(3),是一個(gè)由兩個(gè)都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE組成的圖形,其中∠ACB=∠DCE=90°,∠A=∠D=30°且D、E、B在同一直線上,CE=1,BC= ,求點(diǎn)A、D之間的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)D在⊙O上,∠DAB=45°,BC∥AD,CD∥AB.
(1)判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為1,求圖中陰影部分的周長.
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