Question

【題目】某服裝店同時購進甲、乙兩種款式的運動服共套，進價和售價如表中所示，設購進甲款運動服套（為正整數(shù)），該服裝店售完全部甲、乙兩款運動服獲得的總利潤為元．

運動服款式	甲款	乙款
進價（元套）
售價（元套）

（1）求與的函數(shù)關系式；

（2）該服裝店計劃投入萬元購進這兩款運動服，則至少購進多少套甲款運動服？若售完全部的甲、乙兩款運動服，則服裝店可獲得的最大利潤是多少元？

（3）在（2）的條件下，若服裝店購進甲款運動服的進價降低元（其中），且最多購進套甲款運動服，若服裝店保持這兩款運動服的售價不變，請你設計出使該服裝店獲得最大銷售利潤的購進方案．

Answer 1

【答案】（1）；（2）套，元；（3）詳情見解析

【解析】

（1）若購進甲款運動服套，則購進乙款運動服套，然后根據(jù)題意可得出甲乙兩款售出后每件的利潤，據(jù)此進一步列出關系式化簡即可；

（2）根據(jù)題意首先表示出購進甲款運動服的費用為元，購進乙款運動服的費用為元，據(jù)此進一步列出不等式，求出的范圍即可得出至少購進甲款運動服的數(shù)量，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)進一步求出最大利潤即可；

（3）根據(jù)題意首先列出此時與的函數(shù)關系式，其中，據(jù)此進一步化簡，然后分①當時、②當時、③當時三種情況進一步分析討論即可.

（1）∵購進甲款運動服套，∴購進乙款運動服套，

根據(jù)題意得，，

化簡得：，

即與的函數(shù)關系式為：；

（2）由題意得：

購進甲款運動服的費用為元，購進乙款運動服的費用為元，

∴，

解得：，

∴至少要購進甲款運動服套．

又，其中，

∴隨的增大而減小，

∴當時，有最大值，此時最大值為：，

∴若售完全部的甲、乙兩款運動服，則服裝店可獲得的最大利潤是元，

答：至少要購進甲款運動服套，若售完全部的甲、乙兩款運動服，則服裝店可獲得的最大利潤是元；

（3）由題意得，，其中，

化簡得，，

∵，則：

①當時，，隨的增大而減小，

∴當時，有最大值，

則服裝店應購進甲款運動服套、乙款運動服套，獲利最大；

②當時，，，

則服裝店應購進甲款運動服的數(shù)量應滿足，且為整數(shù)時，服裝店獲利最大；

③當時，，隨的增大而增大，

∵，∴當時，有最大利潤，

則服裝店應購進甲款運動服套、乙款運動服套，獲利最大．