Question

【題目】定義：點(diǎn)到圖形上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)到圖形的距離．例如，如圖1，正方形滿足，，，，那么點(diǎn)到正方形的距離為．

（1）如果點(diǎn)到拋物線的距離為，請直接寫出的值________．

（2）求點(diǎn)到直線的距離．

（3）如果點(diǎn)在直線上運(yùn)動，并且到直線的距離為，求的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）b=-3；（2）到直線的距離為；（3）(2, 6-)或

(2, 6+)

【解析】

（1）作草圖可知，當(dāng)G在原點(diǎn)下方時(shí)，b=-3；

（2）過點(diǎn)M作直線y=x+3的垂線，與直線y=x+3相交于點(diǎn)H，則線段MH的長即為點(diǎn)M到直線y=x+3的距離.由等腰直角三角形MH=ME求解即可；

（3）分N 在直線y=x+4的上方和下方求解即可.

解：（1）由圖可知線段GO長即為點(diǎn)G到拋物線的距離，故GO=3，所以b=-3

（2）如圖，直線y=x+3與x，y軸分別交于點(diǎn)E(-3，0)，F(0，3)，直線y=x+3與x軸所成的角為45°，過點(diǎn)M作MH⊥EF，交EF與H，線段MH的長度即為點(diǎn)M到直線y=x+3的距離，且易知H點(diǎn)與F點(diǎn)重合.

∵為等腰直角三角形，

∴EM=FM ，

又∵EF=3-(-3)=6，

∴MF=EM=×6=3

∴MH=3

即點(diǎn)到直線的距離為；

（3）如圖

K為直線x=2與x軸的交點(diǎn)，故K(2,0),F為直線x=2和直線y=x+4的交點(diǎn)，故F(2,6)

①當(dāng)點(diǎn)N在直線y=x+4的下方N1處時(shí)，過點(diǎn)N1作N1S垂直直線y=x+4，

∵點(diǎn)到直線的距離為，

∴SN1=4,

點(diǎn)E是直線y=x+4與x軸的交點(diǎn)，

∴E(-4,0),且∠FEK=45°,

∴為等腰直角三角形

∴EK=FK=2-(-4)=6,

F N1=N1S=,

∴KN1=FK- F N1=6-,

∴N1(2, 6-)

②當(dāng)點(diǎn)N在直線y=x+4的上方N2處時(shí)，過點(diǎn)N2作N2T垂直直線y=x+4，

同理可得：N2T=4，N2F= N2T=,

∴N2K=KF+FN2=6+,

∴N2(2, 6+)

故點(diǎn)在直線上運(yùn)動，并且到直線的距離為，的坐標(biāo)為(2, 6-)或

(2, 6+).