Question

【題目】問題情境：如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度數(shù)？

小明在解決這個問題時，想到了以下思路：如圖2，把△APC繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B，得到△ADB，連結(jié)DP．

請你在小明的思路提示下，求出∠APC的度數(shù)．

思路應(yīng)用：如圖3，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)P在△ABC外，且PA=6，PC=8，∠APC=30°，求PB的長；

思路拓展：如圖4，矩形ABCD中，AB=BC，P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA：PB：PC=2：1：2，則∠APB=　 　°．（直接填空）

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】試題分析：問題情境，如圖2中，只要證明△ADP為等邊三角形，∠BDP=90°；

思路應(yīng)用，如圖，把△APC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，得到△ADB，連接PD，只要證明△DAP是等邊三角形，∠PDB=90°，即可解決問題；

思路拓展，如圖4中，連接AC．作點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P1，點(diǎn)P關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P3，點(diǎn)P關(guān)于AC的對稱點(diǎn)P2，連接AP1、P1B、P2A、P2C、P3B、P3C．只要證明△P1AP2是等邊三角形，∠p2p1p3=90°，即可解決問題.

試題解析：問題情境，解：如圖2中，

由旋轉(zhuǎn)不變性可知，AD=AP=3，BD=PC=4，∠DAB=∠PAC，

∴∠DAP=∠BAC=60°，∴△ADP為等邊三角形，

∴DP=PA=3，∠ADP=60°．

在△BDP中，DP=3，BD=4，PB=5，

∵32+42=52，∴∠BDP=90°，

∴∠ADB=∠ADP+∠BDP=60°+90°=150°，

∴∠APC=150°．

思路應(yīng)用，解：如圖，把△APC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，得到△ADB，連接PD，

如圖3中，∴△APC≌△ADB，

∴∠DAP=60°，AD=AP=6，DB=PC=8，∠PAC=∠DAB，∠ADB=∠APC=30°．

∴△DAP是等邊三角形，

∴PD=6，∠ADP=60°，∴∠PDB=90°，∴PB2=PD2+DB2=62+82=100．

∴PB=10．

思路拓展，解：如圖4中，連接AC．作點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P1，點(diǎn)P關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P3，點(diǎn)P關(guān)于AC的對稱點(diǎn)P2，連接AP1、P1B、P2A、P2C、P3B、P3C．

∵∠ABC=90°AB=BC，∴tan∠BAC=，

∴∠BAC=30°，∠ACB=60°，根據(jù)對稱性易知∠P1AP2=60°，P1A=P2A，∴△P1AP2是等邊三角形，

∴∠AP1P2=60°，P1P2=PA=2，

根據(jù)對稱性易知P1、B、P3共線，P1P3=2，△CP2P2的頂角為120°的等腰三角形，可得P2P3=2，

∴P1P22+p1p32=p2p32，∴∠p2p1p3=90°，∴∠APB=∠AP1B=90°+60°=150°．故答案為150．