Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A坐標為（﹣2，0），∠OAB=90°，∠AOB=30°，將△OAB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤150°），在旋轉(zhuǎn)過程中，點A、B的對應點分別為點A′、B′．

（1）如圖1，當α=60°時，直接寫出點A′　 　、B′　 　的坐標；

（2）如圖2，當α=135°時，過點B′作AB的平行線交AA′延長線于點C，連接BC，AB′．

①判斷四邊形AB′CB的形狀，并說明理由，

②求此時點A′和點B′的坐標；

（3）當α由30°旋轉(zhuǎn)到150°時，（2）中的線段B′C也隨之移動，請求出B′C所掃過的區(qū)域的面積？（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）（﹣，3），（0，4）；（2）①四邊形AB′CB是平行四邊形，詳見解析；②A′（，），點B′（+，﹣）；（3）12

【解析】

（1）如圖1中，作A′E⊥OB′于E．解直角三角形求出EO，A′E即可解決問題；

（2）①如圖2中，結(jié)論：四邊形AB′CB是平行四邊形．只要證明B′C∥AB，B′C=AB；

②過點A′作A′E⊥x軸于E．過點B′作B′F⊥A′E于F，解直角三角形求出OE、EF、B′F即可；

（3）B′C掃過的面積=S平行四邊形B′B″C″C′，由此計算即可；

解：（1）如圖1中，作A′E⊥OB′于E．

在Rt′△OA′B′中，∵∠A′OB′=30°，OA′=2，

∴cos30°=，

∴OB′=4，

∴B′（0，4），

在Rt△OA′E中，∵OA′=2，

∴A′E=，OE=A′E=3，

∴A′（﹣，3）．

故答案為（﹣，3），（0，4）．

（2）①如圖2中，結(jié)論：四邊形AB′CB是平行四邊形．

理由：∵B′C∥AB，

∴∠B′CA=∠BAC，

∵∠BAC+∠CAO=90°，

∴∠B′CA′+∠CAO=90°，

又∵∠B′A′C+∠OA′A=90°，且旋轉(zhuǎn)得到OA=OA′，則∠CAO=∠OA′A，

∴∠B′CA′=∠B′A′C，

∴B′C=B′A′，

又∵A′B′=AB，

∴B′C=AB，

∴四邊形AB′CB是平行四邊形．

②過點A′作A′E⊥x軸于E．

由A（﹣2，0），可得OA=2，

又∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，

∴AB=2，OB=4，則OA′=2，A′B′=2，

由∠AOA′=135°，得到∠A′OE=45°，

∴OE=A′E=OA′=，

∴點A′（，），

過點B′作B′F⊥A′E于F，

由∠EA′O=45°，得∠EA′B′=45°，

∴B′F=A′F=×2=，

∴EF=﹣，OE+B′F=+，

∴點B′（+，﹣）．

（3）如圖3中，結(jié)合（2）知：

當時，，

上的高為

B′C掃過的面積=S平行四邊形B′B″C″C′=6×2=12．