【題目】如圖 1,在平面直角坐標(biāo)系中,點 O 是坐標(biāo)原點,四邊形 ABCO 是菱形,點 A 的坐標(biāo)為(-3,4),點 C 在 x 軸的正半軸上,直線 AC 交 y 軸于點 M,AB 邊交 y 軸于點 H.
(1)求直線 AC 的解析式;
(2)連接 BM,如圖 2,動點 P 從點 A 出發(fā),沿折線 ABC 方向以 2 個單位/秒的速度向終點 C 勻速運(yùn)動,設(shè)△PMB 的面積為 S(S≠0),點 P 的運(yùn)動時間為 t 秒,求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式(要求寫出自變量 t 的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,當(dāng) t 為何值時,∠MPB 與∠BCO 互為余角,并求此時直線 OP 與直線 AC 所夾銳角的正切值.
【答案】(1);(2);(3)當(dāng)t=時,∠MPB與∠BCO互為余角,直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為;當(dāng)t=時,∠MPB與∠BCO互為余角,直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為1.
【解析】
(1)已知A點的坐標(biāo),就可以求出OA的長,根據(jù)OA=OC,就可以得到C點的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式;
(2)點P的位置應(yīng)分P在AB和BC上兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)P在AB上時,S=BPMH;當(dāng)P在BC上時,S=P1BBM,據(jù)此面積就可以表示出來;
(3)分兩種情況進(jìn)行討論,當(dāng)P點在AB邊上運(yùn)動時:設(shè)OP與AC相交于點Q連接OB交AC于點K,證明△AQP∽△CQO,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,以及勾股定理可以求出AQ,QC的長,在直角△OHB中,根據(jù)勾股定理,可以得到tan∠OQC.當(dāng)P點在BC邊上運(yùn)動時,可證△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,就可以求出OK,KQ就可以求出.
解:(1)過點A作AE⊥x軸垂足為E,如圖(1),
∵A(3,4),
∴AE=4 ,OE=3,
∴OA==5,
∵四邊形ABCO為菱形,
∴OC=OA=5,
∴C(5,0)
設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b(k≠0),
∴,解得:,
∴直線AC的解析式為:;
(2)由(1)得M點坐標(biāo)為(0,),
∴OM=,
如圖(1),當(dāng)P點在AB邊上運(yùn)動時,
由題意得OH=4,
∴HM=OHOM=4=,
∴S=BPMH=(52t)·=t+(0≤t<),
當(dāng)P點在BC邊上運(yùn)動時,記為P1,
∵∠OCM=∠BCM,CO=CB,CM=CM,
∴△OMC≌△BMC,
∴OM=BM=,∠MOC=∠MBC=90°,
∴S=P1BBM=(2t5)·=t(<t≤5),
綜上所述: ;
(3)設(shè)OP與AC相交于點Q連接OB交AC于點K,
∵∠AOC=∠ABC,
∴∠AOM=∠ABM,
∵∠MPB+∠BCO=90°,∠BAO=∠BCO,∠BAO+∠AOH=90°,
∴∠MPB=∠AOH,
∴∠MPB=∠MBH.
當(dāng)P點在AB邊上運(yùn)動時,如圖(2),
∵∠MPB=∠MBH,
∴PM=BM,
∵MH⊥PB,
∴PH=HB=2,
∴PA=AHPH=1,
∴t=,
∵AB∥OC,
∴∠PAQ=∠OCQ,
∵∠AQP=∠CQO,
∴△AQP∽△CQO,
∴,
在Rt△AEC中,AC=,
∴AQ=,QC=,
在Rt△OHB中,OB=,
∵AC⊥OB,OK=KB,AK=CK,
∴OK=,AK=KC=,
∴QK=AKAQ=,
∴tan∠OQC=;
當(dāng)P點在BC邊上運(yùn)動時,如圖(3),
∵∠BHM=∠PBM=90°,∠MPB=∠MBH,
∴tan∠MPB=tan∠MBH,
∴,即,
∴BP=,
∴t=,
∴PC=BCBP=5=.
由PC∥OA,同理可證△PQC∽△OQA,
∴,
∴CQ=AC=,
∴QK=KCCQ=,
∵OK=,
∴tan∠OQK=,
綜上所述,當(dāng)t=時,∠MPB與∠BCO互為余角,直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為;當(dāng)t=時,∠MPB與∠BCO互為余角,直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為1.
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【題目】如圖,已知直線l1:y=2x+1、直線l2:y=﹣x+7,直線l1、l2分別交x軸于B、C兩點,l1、l2相交于點A.
(1)求A、B、C三點坐標(biāo);
(2)求△ABC的面積.
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(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1,畫出△A1B1C1的圖形并寫出點B1的坐標(biāo);
(2)把△ABC繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)90°后得△A2B2C2,畫出△A2B2C2的圖形并寫出B2的坐標(biāo);
(3)把△ABC以點A為位似中心放大,使放大前后對應(yīng)邊的比為1∶2,畫出△AB3C3的圖形.
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(1)k的值是 ;
(2)如圖,該一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于A,B兩點,且與反比例函數(shù)y=圖象交于C,D兩點(點C在第二象限內(nèi)),過點C作CE⊥x軸于點E,記S1為四邊形CEOB的面積,S2為△OAB的面積,若=,則b的值是 .
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【題目】在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是( ).
A. AB∥DC,AD∥BCB. AB=DC,AD=BC
C. AO=CO,BO=DOD. AB∥DC,AD=BC
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【題目】小明和小剛用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做配紫色游戲,游戲規(guī)則是:分別旋轉(zhuǎn)兩個轉(zhuǎn)盤,若其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色,另一個轉(zhuǎn)出了藍(lán)色,則可以配成紫色.此時小剛獲勝,否則小明獲勝.
(1)利用畫樹狀圖或列表法表示游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.
(2)這個游戲?qū)﹄p方公平嗎?請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的位置如圖所示,點A的坐標(biāo)為(1,0),點D的坐標(biāo)為(0,2).延長CB交x軸于點A1,作第1個正方形A1B1C1C;延長C1B1交x軸于點A2,作第2個正方形A2B2C2C1,…,按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,第2016個正方形的面積是______.
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(1) 無蓋方盒盒底的長為______dm,寬為_____dm(用含x的式子表示)
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