【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+bx+c交x軸于A,B兩點,交y軸于點C,直線y=x﹣3經(jīng)過B,C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是第四象限內(nèi)拋物線上的動點,過點P作PD⊥x軸于點D,交直線BC于點M,連接AC,過點M作MN⊥AC于點N,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t.
①求線段MN的長d與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);
②點Q是平面內(nèi)一點,是否存在一點P,使以B,C,P,Q為頂點的四邊形為矩形?若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①;②存在,t=1或.
【解析】
(1)首先求出點B、C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)①根據(jù)S△ABC=S△AMC+S△AMB,由三角形面積公式可求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式;
②把拋物線的解析式化成頂點式,求得頂點坐標(biāo),過點C作CE⊥PD于點E,分兩種情況討論:如圖1,當(dāng)BC為矩形的邊時,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到P(t,﹣3﹣t),代入拋物線的解析式,求得t=1;如圖2,當(dāng)BC為矩形的對角線時,證得△CPE∽△PBD,得出CEBD=PEPD,由CE=t,BD=3﹣t,PD=﹣t2+2t+3=﹣(t+1)(t﹣3).PE=PD﹣DE=﹣t2+2t﹣3=﹣t2+2t=﹣t(t﹣2),列出t(3﹣t)=t(t﹣2)(t+1)(t﹣3),解得即可.
(1)由直線y=x﹣3過B,C兩點,得B(3,0),C(0,﹣3),
將點B(3,0),C(0,﹣3)代入y=x2+bx+c中,
得
解得
故拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)①對于y=x2﹣2x﹣3,
當(dāng)y=0時,x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0)
∴OA=1,
∵OB=OC=3,
∴∠OBC=∠BCO=45°,AC=,AB=4.
連接AM.
∵PD⊥x軸于點D,
∴∠DMB=∠GBM=45°.
又∵點P的橫坐標(biāo)為t,
∴DM=DB=3﹣t.
∵S△ABC=S△AMC+S△AMB,
∴
即
∴
②存在,t=1或,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,﹣4),
過點C作CE⊥PD于點E.
如圖(1),當(dāng)BC為矩形的邊時,
由∠BCP=90°,∠BCE=45°,可得∠EPC=∠ECP=45°,
∴PE=CE=t,
∴P(t,﹣3﹣t).
將P(t,﹣3﹣t)代入y=x2﹣2x﹣3,
得﹣3﹣t=t2﹣2t﹣3,
解得t1=0(不合題意,舍去),t2=1.
如圖(2),當(dāng)BC為矩形的對角線時,
∵∠PCE+∠CPE=90°,∠CPE+∠BPD=90°,
∴∠PCE=∠BPD,
∴△CPE∽△PBD,
∴,即CEBD=PEPD.
∵點P的橫坐標(biāo)為t.
∴CE=t,BD=3﹣t,PD=﹣t2+2t+3=﹣(t+1)(t﹣3).PE=PD﹣DE=﹣t2+2t﹣3=﹣t2+2t=﹣t(t﹣2),
故t(3﹣t)=t(t﹣2)(t+1)(t﹣3),
整理,得t2﹣t﹣1=0,
解得(不合題意,舍去).
綜上可知,t的值為1或.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y = ax2 2ax + c圖像的頂點為P,與x軸交于A、B兩點(其中點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,它的對稱軸交直線BC交于點D,且CD︰BD=1︰2.
(1)求B點坐標(biāo);
(2)當(dāng)△CDP的面積是1時,求二次函數(shù)的表達式;
(3)若直線BP交y軸于點E,求當(dāng)△CPE是直角三角形時的a的值.
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【題目】在四邊形ABCD中,BC=CD,連接AC、BD,∠ADB=90°.
(1)如圖1,若AD=BD=BC,過點D作DF⊥AB于點F,交AC于點E:
①∠DAC= °;
②求證:EC=EA+ED;
(2)如圖2,若AC=BD,求∠DAC的度數(shù).
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【題目】如圖,是垂直于水平面的建筑物,為測量的高度,小紅從建筑物底端出發(fā),沿水平方向行走了52米到達點,然后沿斜坡前進,到達坡頂點處,.在點處放置測角儀,測角儀支架高度為0.8米,在點處測得建筑物頂端點的仰角為(點,,,在同一平面內(nèi)),斜坡的坡度(或坡比),求建筑物的高度.(精確到個位)(參考數(shù)據(jù):)
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【題目】某游客計劃測量這座塑像的高度,(如圖1),由于游客無法直接到達塑像底部,因此該游客計劃借助坡面高度來測量塑像的高度;如圖2,在塑像旁山坡坡腳A處測得塑像頭頂C的仰角為75°,當(dāng)從A處沿坡面行走10米到達P處時,測得塑像頭頂C的仰角剛好為45°,已知山坡的坡度i=1:3,且O,A,B在同一直線上,求塑像的高度.(側(cè)傾器高度忽略不計,結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):cos75°≈0.3,tan75°≈3.7,,,)
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【題目】已知:如圖1,拋物線是由拋物線向右平移1個單位,再向下平移4個單位得到的,與軸交于,兩點(在的右側(cè)),直線經(jīng)過點,與軸交于點.
(1)分別求出,,的值;
(2)如圖2,已知點是線段上任一點(不與,重合),過點作軸垂線,交拋物線于點.當(dāng)在何處時,四邊形面積最大,求出此時點坐標(biāo)及四邊形面積的最大值.
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【題目】問題探究,
(1)如圖①,在矩形ABCD中,AB=2AD,P為CD邊上的中點,試比較∠APB和∠ADB的大小關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖②,在正方形ABCD中,P為CD上任意一點,試問當(dāng)P點位于何處時∠APB最大?并說明理由;
問題解決
(3)某兒童游樂場的平面圖如圖③所示,場所工作人員想在OD邊上點P處安裝監(jiān)控裝置,用來監(jiān)控OC邊上的AB段,為了讓監(jiān)控效果最佳,必須要求∠APB最大,已知:∠DOC=60°,OA=400米,AB=200米,問在OD邊上是否存在一點P,使得∠APB最大,若存在,請求出此時OP的長和∠APB的度數(shù);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,點D在BA的延長線上,CD與⊙O交于另一點E,DE=OB=2,∠D=20°,則弧BC的長度為( 。
A. π B. π C. π D. π
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為B(4,0),另一個交點為A,且與y軸相交于C點.
(1)求m的值及C點坐標(biāo);
(2)在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M,使得它與B,C兩點構(gòu)成的三角形面積最大,若存在,求出此時M點坐標(biāo);若不存在,請簡要說明理由;
(3)P為拋物線上一點,它關(guān)于直線BC的對稱點為Q.
①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時,求點P的坐標(biāo);
②點P的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),當(dāng)t為何值時,四邊形PBQC的面積最大,請說明理由.
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