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【題目】如圖,拋物線與x軸交于AB兩點(A在點B左側),與y軸交于點C,且當x=﹣1x3時,y值相等.直線y與拋物線有兩個交點,其中一個交點的橫坐標是6,另一個交點是這條拋物線的頂點M

(1)求這條拋物線的表達式.

(2)動點P從原點O出發(fā),在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動,同時點Q從點B出發(fā),在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點C運動,當一個點到達終點時,另一個點立即停止運動,設運動時間為t秒.

①求t的取值范圍.

②若使△BPQ為直角三角形,請求出符合條件的t值;

t為何值時,四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是多少?直接寫出答案.

【答案】1;(2)①,②t的值為,③當t2時,四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是

【解析】

1)求出對稱軸,再求出y=與拋物線的兩個交點坐標,將其代入拋物線的頂點式即可;

2)①先求出AB、C的坐標,寫出OB、OC的長度,再求出BC的長度,由運動速度即可求出t的取值范圍;

②當△BPQ為直角三角形時,只存在∠BPQ=90°或∠PQB=90°兩種情況,分別證△BPQ∽△BOC和△BPQ∽△BCO,即可求出t的值;

③如圖,過點QQHx軸于點H,證△BHQ∽△BOC,求出HQ的長,由公式S四邊形ACQP=SABC-SBPQ可求出含t的四邊形ACQP的面積,通過二次函數的圖象及性質可寫出結論.

解:(1)∵在拋物線中,當x=﹣1x3時,y值相等,

∴對稱軸為x1,

y與拋物線有兩個交點,其中一個交點的橫坐標是6,另一個交點是這條拋物線的頂點M

∴頂點M1,),另一交點為(6,6),

∴可設拋物線的解析式為yax12,

將點(6,6)代入yax12,

6a612

a,

∴拋物線的解析式為

2)①在中,當y0時,x1=﹣2,x24;當x0時,y=﹣3,

A(﹣2,0),B4,0),C0,﹣3),

∴在RtOCB中,OB4,OC3,

BC5

,

4,

②當△BPQ為直角三角形時,只存在∠BPQ90°或∠PQB90°兩種情況,

當∠BPQ90°時,∠BPQ=∠BOC90°,

PQOC,

∴△BPQ∽△BOC,

,即,

t;

當∠PQB90°時,∠PQB=∠BOC90°,∠PBQ=∠CBO,

∴△BPQ∽△BCO

,即,

t,

綜上所述,t的值為;

③如右圖,過點QQHx軸于點H,

則∠BHQ=∠BOC90°,

HQOC,

∴△BHQ∽△BOC,

,即,

HQ,

S四邊形ACQPSABCSBPQ

×6×34t×t

t22+

0,

∴當t2時,四邊形ACQP的面積有最小值,最小值是

練習冊系列答案
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RtABD中,

同理:

1)通過上述材料證明:

2)運用(1)中的結論解決問題:

如圖2,在中,,求AC的長度.

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