【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓與軸相交于點(diǎn),與軸相交于點(diǎn)

(1)若拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),求拋物線的解析式,并判斷點(diǎn)是否在該拋物線上.

(2)在(1)中的拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn),使得的周長(zhǎng)最。

(3)設(shè)為(1)中的拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn),在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn),使得四邊形是平行四邊形.若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析;(3)存在,理由見(jiàn)解析.

【解析】

試題(1)由已知條件先求出CD兩點(diǎn)的坐標(biāo),再把其橫縱坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式求出b,c,再將點(diǎn)B坐標(biāo)代入檢驗(yàn)即可;(2BD的長(zhǎng)為定值,所以要使△PBD周長(zhǎng)最小,只需PB+PD最小,連接DC,則DC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使△PBD周長(zhǎng)最小的點(diǎn);(3)設(shè)Q,t)為拋物線對(duì)稱軸x=

上一點(diǎn),M在拋物線上,要使四邊形BCQM為平行四邊形,則BC∥QMBC=QM,再分當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),討論即可.

試題解析:(1∵OA=,AD=AC=2,∴C3,0),B,0.

又在Rt△AOD中,OA=,∴OD=. ∴D.

∵D,C兩點(diǎn)在拋物線上,,解得.

拋物線的解析式為.

當(dāng)時(shí),,

點(diǎn)B0)在該拋物線上.

2,拋物線的對(duì)稱軸方程為:x=.

∵BD的長(zhǎng)為定值,要使△PBD周長(zhǎng)最小,只需PB+PD最小.

連接DC,則DC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使△FBD周長(zhǎng)最小的點(diǎn),

設(shè)直線DC的解析式為y=mx+n,,解得.

直線DC的解析式為.

中令x=y=. ∴P的坐標(biāo)為.

3)存在,

設(shè)Q,t)為拋物線對(duì)稱軸x=上一點(diǎn),M在拋物線上,

要使四邊形BCQM為平行四邊形,則BC∥QMBC=QM,且點(diǎn)M在對(duì)稱軸的左側(cè),

過(guò)點(diǎn)Q作直線L∥BC與拋物線交于點(diǎn)Mx,t),由BC=QMQM=4,從而x=,t=12.

故在拋物線上存在點(diǎn)M12)使得四邊形BCQM為平行四邊形.

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