Question

【題目】已知拋物線

（1）求證：拋物線與軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

（2）設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn)．

①若為直角三角形且，點(diǎn)在直線上方的拋物線上，且是銳角，求的取值范圍．

②設(shè)拋物線頂點(diǎn)為，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，,為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請(qǐng)求出的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①，②存在，或．

【解析】

（1）令，再根據(jù)根的判別式求解即可．

（2）①分別求出A、B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求得，聯(lián)立方程求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)圖象求出的取值范圍．②根據(jù)拋物線解析式可得，對(duì)稱軸為，設(shè)，根據(jù)，可得當(dāng)即時(shí)，以點(diǎn)D、O、C為頂點(diǎn)才能構(gòu)成等腰三角形，當(dāng)時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論即可．

（1）當(dāng)時(shí)，

∵

∴拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．

（2）①當(dāng)時(shí)，

∴

∵A在B的左側(cè)且

∴

當(dāng)時(shí)，

∴

∵

∴

即

解得

∴

聯(lián)立得

解得或

如圖

∴與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)

∵P在直線上方的拋物線上，且是銳角

∴．

②存在

∵

∴對(duì)稱軸為

設(shè)

∵

∴當(dāng)即時(shí)，以點(diǎn)D、O、C為頂點(diǎn)才能構(gòu)成等腰三角形

當(dāng)時(shí)，分三種情況

1）若，則，即

解得

∴或

2）若，則，即

解得

∴或

3）若，則

綜上所述，在拋物線對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)D，使以點(diǎn)DOC為頂點(diǎn)成等腰三角形，此時(shí)．