【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)過點(diǎn)E(8,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),點(diǎn)C、D在拋物線上,∠BAD的平分線AM交BC于點(diǎn)M,點(diǎn)N是CD的中點(diǎn),已知OA=2,且OA:AD=1:3.
(1)求拋物線的解析式;
(2)F、G分別為x軸,y軸上的動(dòng)點(diǎn),順次連接M、N、G、F構(gòu)成四邊形MNGF,求四邊形MNGF周長(zhǎng)的最小值;
(3)在x軸下方且在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△ODP中OD邊上的高為?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)矩形ABCD不動(dòng),將拋物線向右平移,當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)K、L,且直線KL平分矩形的面積時(shí),求拋物線平移的距離.
【答案】(1)y=x2﹣4x;(2)四邊形MNGF周長(zhǎng)最小值為12;(3)存在點(diǎn)P,P坐標(biāo)為(6,﹣6);(4)拋物線平移的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度.
【解析】
(1)由點(diǎn)E在x軸正半軸且點(diǎn)A在線段OE上得到點(diǎn)A在x軸正半軸上,所以A(2,0);由OA=2,且OA:AD=1:3得AD=6.由于四邊形ABCD為矩形,故有AD⊥AB,所以點(diǎn)D在第四象限,橫坐標(biāo)與A的橫坐標(biāo)相同,進(jìn)而得到點(diǎn)D坐標(biāo).由拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、E,用待定系數(shù)法即求出其解析式;(2)畫出四邊形MNGF,由于點(diǎn)F、G分別在x軸、y軸上運(yùn)動(dòng),故可作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)M',作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)N',得FM=FM'、GN=GN'.易得當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線上時(shí)N'G+GF+FM'=M'N'最小,故四邊形MNGF周長(zhǎng)最小值等于MN+M'N'.根據(jù)矩形性質(zhì)、拋物線線性質(zhì)等條件求出點(diǎn)M、M'、N、N'坐標(biāo),即求得答案;(3)因?yàn)?/span>OD可求,且已知△ODP中OD邊上的高,故可求△ODP的面積.又因?yàn)椤?/span>ODP的面積常規(guī)求法是過點(diǎn)P作PQ平行y軸交直線OD于點(diǎn)Q,把△ODP拆分為△OPQ與△DPQ的和或差來計(jì)算,故存在等量關(guān)系.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為t,用t表示PQ的長(zhǎng)即可列方程.求得t的值要討論是否滿足點(diǎn)P在x軸下方的條件;(4)由KL平分矩形ABCD的面積可得K在線段AB上、L在線段CD上,畫出平移后的拋物線可知,點(diǎn)K由點(diǎn)O平移得到,點(diǎn)L由點(diǎn)D平移得到,故有K(m,0),L(2+m,-6).易證KL平分矩形面積時(shí),KL一定經(jīng)過矩形的中心H且被H平分,求出H坐標(biāo)為(4,﹣3),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即求得m的值.
(1)∵點(diǎn)A在線段OE上,E(8,0),OA=2
∴A(2,0)
∵OA:AD=1:3
∴AD=3OA=6
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D(2,﹣6)
∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)D、E
∴
解得:
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x
(2)如圖1,作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M',作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N',連接FM'、GN'、M'N'
∵y=x2﹣4x=(x﹣4)2﹣8
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=4
∵點(diǎn)C、D在拋物線上,且CD∥x軸,D(2,﹣6)
∴yC=yD=﹣6,即點(diǎn)C、D關(guān)于直線x=4對(duì)稱
∴xC=4+(4﹣xD)=4+4﹣2=6,即C(6,﹣6)
∴AB=CD=4,B(6,0)
∵AM平分∠BAD,∠BAD=∠ABM=90°
∴∠BAM=45°
∴BM=AB=4
∴M(6,﹣4)
∵點(diǎn)M、M'關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)F在x軸上
∴M'(6,4),FM=FM'
∵N為CD中點(diǎn)
∴N(4,﹣6)
∵點(diǎn)N、N'關(guān)于y軸對(duì)稱,點(diǎn)G在y軸上
∴N'(﹣4,﹣6),GN=GN'
∴C四邊形MNGF=MN+NG+GF+FM=MN+N'G+GF+FM'
∵當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線上時(shí),N'G+GF+FM'=M'N'最小
∴C四邊形MNGF=MN+M'N'=
∴四邊形MNGF周長(zhǎng)最小值為12.
(3)存在點(diǎn)P,使△ODP中OD邊上的高為.
過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線OD于點(diǎn)Q
∵D(2,﹣6)
∴OD=,直線OD解析式為y=﹣3x
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(t,t2﹣4t)(0<t<8),則點(diǎn)Q(t,﹣3t)
①如圖2,當(dāng)0<t<2時(shí),點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)
∴PQ=yQ﹣yP=﹣3t﹣(t2﹣4t)=﹣t2+t
∴S△ODP=S△OPQ+S△DPQ=PQxP+PQ(xD﹣xP)=PQ(xP+xD﹣xP)=PQxD=PQ=﹣t2+t
∵△ODP中OD邊上的高h=,
∴S△ODP=ODh
∴﹣t2+t=×2×
方程無解
②如圖3,當(dāng)2<t<8時(shí),點(diǎn)P在點(diǎn)D右側(cè)
∴PQ=yP﹣yQ=t2﹣4t﹣(﹣3t)=t2﹣t
∴S△ODP=S△OPQ﹣S△DPQ=PQxP﹣PQ(xP﹣xD)=PQ(xP﹣xP+xD)=PQxD=PQ=t2﹣t
∴t2﹣t=×2×
解得:t1=﹣4(舍去),t2=6
∴P(6,﹣6)
綜上所述,點(diǎn)P坐標(biāo)為(6,﹣6)滿足使△ODP中OD邊上的高為.
(4)設(shè)拋物線向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后與矩形ABCD有交點(diǎn)K、L
∵KL平分矩形ABCD的面積
∴K在線段AB上,L在線段CD上,如圖4
∴K(m,0),L(2+m,-6)
連接AC,交KL于點(diǎn)H
∵S△ACD=S四邊形ADLK=span>S矩形ABCD
∴S△AHK=S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴==1,
∴AH=CH,KH=HL,即點(diǎn)H為AC中點(diǎn),也是KL中點(diǎn)
∴H(4,﹣3)
∴
∴m=3
∴拋物線平移的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD是四邊形ABCD的對(duì)角線,AB=BC=6,∠ABC=60°,點(diǎn)G1、G2分別是△ABD和△DBC的重心,則點(diǎn)G1、G2間的距離為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以AD為邊向右作等邊△ADE,連結(jié)CE,
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)若CE=,求△ACD的面積;
(3)若△ACE是直角三角形,則BD的長(zhǎng)是 (直接寫出答案).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)《中國(guó)教育報(bào)》2004年5月24日?qǐng)?bào)道:目前全國(guó)有近3萬所中小學(xué)建設(shè)了校園網(wǎng),該報(bào)為了了解這近3萬所中小學(xué)校園網(wǎng)的建設(shè)情況,從中抽取了4600所學(xué)校,對(duì)這些學(xué)校校園網(wǎng)的建設(shè)情況進(jìn)行問卷調(diào)查,并根據(jù)答卷繪制了如圖的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖:
說明:統(tǒng)計(jì)圖1的百分?jǐn)?shù)=×100%;
統(tǒng)計(jì)圖2的百分?jǐn)?shù)=×100%.
根據(jù)上面的文字和統(tǒng)計(jì)圖提供的信息回答下列問題:
(1)在這個(gè)問題中,總體指什么?樣本容量是什么?
(2)估計(jì):在全國(guó)已建設(shè)校園網(wǎng)的中小學(xué)中:
①校園網(wǎng)建設(shè)時(shí)間在2003年以后(含2003年)的學(xué)校大約有多少所?
②校園網(wǎng)建設(shè)資金投入在200萬元以上(不含200萬元)的學(xué)校大約有多少所?
(3)所抽取的4600所學(xué)校中,校園網(wǎng)建設(shè)資金投入的中位數(shù)落在那個(gè)資金段內(nèi)?
(4)圖中還提供了其他信息,例如:校園網(wǎng)建設(shè)資金投入在10~50萬元的中小學(xué)的數(shù)量最多等,請(qǐng)?jiān)賹懗銎渌麅蓷l信息.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)如今,“垃圾分類”意識(shí)已深入人心,垃圾一般可分為:可回收物、廚余垃圾、有害垃圾、其它垃圾.其中甲拿了一袋垃圾,乙拿了兩袋垃圾.
(1)直接寫出甲所拿的垃圾恰好是“廚余垃圾”的概率;
(2)求乙所拿的兩袋垃圾不同類的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2013年3月,某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸,該地救援隊(duì)立即趕赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行救援,救援隊(duì)利用生命探測(cè)儀在地面A、B兩個(gè)探測(cè)點(diǎn)探測(cè)到C處有生命跡象.已知A、B兩點(diǎn)相距4米,探測(cè)線與地面的夾角分別是30°和45°,試確定生命所在點(diǎn)C的深度.(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,有一個(gè)由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的圖案,其中點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(3,5),(6,1).若過原點(diǎn)的直線l將這個(gè)圖案分成面積相等的兩部分,則直線l的函數(shù)解析式為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別為AD,BC邊上的一點(diǎn),增加下列條件,不能得出BE∥DF的是( )
A. AE=CF B. BE=DF C. ∠EBF=∠FDE D. ∠BED=∠BFD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用A、B兩種機(jī)器人搬運(yùn)大米,A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)20袋大米,A型機(jī)器人搬運(yùn)700袋大米與B型機(jī)器人搬運(yùn)500袋大米所用時(shí)間相等.求A、B型機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少袋大米.
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