【題目】如圖所示,∠BAC=30°,D為角平分線上一點(diǎn),DE⊥AC于E,DF∥AC,且交AB于點(diǎn)F.
(1)求證:△AFD為等腰三角形;
(2)若DF=10cm,求DE的長.
【答案】(1)見解析;(2)DE=5cm.
【解析】
(1)利用平行線和角平分線的性質(zhì),證得等角,利用等角對(duì)等邊這一判定定理證明△AFD為等腰三角形.
(2)AD是角平分線,易證∠GFD=30°,又△GFD是直角三角形,所以30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半這一性質(zhì),求出DE=5.
(1)證明:
如圖所示,
∵DF∥AC,
∴∠3=∠2,
∵AD是角平分線,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴FD=FA,
∴△AFD為等腰三角形.
(2)
如圖,過D作DG⊥AB,垂足為G,
∵∠1=∠2=∠BAC,∠BAC=30°,
∴∠1=15°,
又∵∠1=∠3,
∴∠1=∠3=15°,
∴∠GFD=∠1+∠3=15°+15°=30°,
在Rt△FDG中,DF=10cm,∠GFD=30°,
∴DG=5cm,
∵AD為∠BAC的平分線,DE⊥AC,DG⊥AB,
∴DE=DG=5cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一個(gè)邊長不定的正方形ABCD,它的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)A,C分別在邊長為1的正六邊形一組平行的對(duì)邊上,另外兩個(gè)頂點(diǎn)B,D在正六邊形內(nèi)部(包括邊界),則正方形邊長a的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,將直角三角板的頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng),兩直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)C、D,問PC與PD相等嗎?試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),且.點(diǎn)是線段上一點(diǎn),交的延長線于點(diǎn).
(1)如圖1,若交于點(diǎn).點(diǎn)作,交的延長線于點(diǎn),求證:;
(2)如圖2,若是的角平分線,交于點(diǎn),交于點(diǎn),求的值;
(3)如圖3,若交的延長線于點(diǎn).請(qǐng)證明:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ADE中,∠DAE=90°,C是邊AE上任意一點(diǎn)(點(diǎn)C與點(diǎn)A、E不重合),以AC為一直角邊在Rt△ADE的外部作Rt△ABC,∠BAC=90°,連接BE、CD.
(1)在圖1中,若AC=AB,AE=AD,現(xiàn)將圖1中的Rt△ADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角α,得到圖2,那么線段BE.CD之間有怎樣的關(guān)系,寫出結(jié)論,并說明理由;
(2)在圖1中,若CA=3,AB=5,AE=10,AD=6,將圖1中的Rt△ADE繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角α,得到圖3,連接BD、CE.
①求證:△ABE∽△ACD;
②計(jì)算:BD2+CE2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=x+6與x軸,y軸相交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)C在線段OA上,將△BOC沿著BC折疊后,點(diǎn)O恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處,若點(diǎn)P為平面內(nèi)異于點(diǎn)C的一點(diǎn),且滿足△ABC與△ABP全等,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為促進(jìn)我市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,加快道路建設(shè),某高速公路建設(shè)工程中需修隧道AB,如圖,在山外一點(diǎn)C測得BC距離為200m,∠CAB=54°,∠CBA=30°,求隧道AB的長.(參考數(shù)據(jù):sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan54°≈1.38, ≈1.73,精確到個(gè)位)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,1),B(3,3),動(dòng)點(diǎn)C在x軸上,若以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為( )
A.2B.3C.4D.5
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