Question

【題目】如圖，已知直線y＝x+6與x軸，y軸相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在線段OA上，將△BOC沿著BC折疊后，點(diǎn)O恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，若點(diǎn)P為平面內(nèi)異于點(diǎn)C的一點(diǎn)，且滿足△ABC與△ABP全等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____．

Answer 1

【答案】（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）

【解析】

先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)折疊性質(zhì)可得BD=OB，CD=OC，利用勾股定理可求出CD的長(zhǎng)，即可得點(diǎn)C坐標(biāo)，△PAB與△CAB全等有三種情況①延長(zhǎng)CD到P，使PD=CD，連接PA、PB，過(guò)D作DE⊥OA于E，可得AB為PC的垂直平分線，利用SSS可證明△ABP≌△ABC，利用面積法可求出DE的長(zhǎng)，代入AB解析式可的點(diǎn)D坐標(biāo)，根據(jù)D是PC中點(diǎn)即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)B作x軸平行線，過(guò)點(diǎn)A作BC平行線，相交于點(diǎn)P；可得P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6，根據(jù)B、C坐標(biāo)可得BC解析式，由AP//BC及A點(diǎn)坐標(biāo)可求出AP的解析式，把y=6代入即可得P點(diǎn)坐標(biāo)；③作點(diǎn)（﹣5，6）關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'；PP′交AB于E，作EF⊥PB，由CD和PE是AB邊上的高可得PE=CD，利用面積法可求出EF的長(zhǎng)，即可求出E點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入AB解析式即可得E得坐標(biāo)，根據(jù)E點(diǎn)為PP′中點(diǎn)即可求出P′坐標(biāo)，綜上即可得答案.

∵直線y＝x+6與x軸，y軸相交于點(diǎn)A，B，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=6，當(dāng)y=0時(shí)，x=-8，

∴A（﹣8，0），B（0，6），

∴AB==10，

∵O與D關(guān)于BC對(duì)稱，

∴OB＝BD＝6，CO＝CD，

∴AD＝10﹣6＝4，AC＝8﹣CD，

在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即(8-CD)2=42+CD2，

解得：CD＝3，

∴OC=3，

∴C（﹣3，0），

①如圖，延長(zhǎng)CD到P，是PD=CD，連接PA、PB，過(guò)D作DE⊥OA于E，

∵∠BDC=∠BOC=90°，

∴AB是PC的垂直平分線，

∴PB=BC，PA=AC，

又∵AB=AB，

∴△ABP≌△ABC，

∵CD=3，AD=4，AC=5，∠ADC=90°，

∴S△ACD=AC·DE=CD·AD，即5DE=12，

解得：DE=，

當(dāng)y=時(shí)，x+6=，

解得：x=，

∴D（，），

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）

∵點(diǎn)D是PC的中點(diǎn)，

∴，，

解得：m=，n=,

∴P（﹣，）.

②過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，相交于點(diǎn)P，

∴∠PAB=∠ABC，∠PBA=∠BAC，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6，

又∵AB=AB，

∴△ABP≌△ABC，

設(shè)BC解析式為y=kx+b，

∵C（-3，0），B（0，6），

∴，

解得：，

∴BC的直線解析式為y＝2x+6，

∵PA//BC，

∴設(shè)AP的解析式為y=2x+b1，

∵A（-8，0）

∴2×(-8)+b1=0，

解得：b1=16，

∴AP的直線解析式為y＝2x+16

∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6,

∴2x+16=6，

解得：x=-5，

∴P（﹣5，6）.

③如圖，作點(diǎn)P（﹣5，6）關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，PP′交AB于E，作EF⊥PB，

∵點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于AB對(duì)稱，

∴△ABP≌△ABP′，PE=P′E，

∵△ABP≌△ABC，

∴△ABP′≌△ABC，

∵CD和PE是AB邊上的高，

∴PE=CD=3，

∴BE==4，

∴EF==，

∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為6-=，

∵點(diǎn)E在直線AB上，

∴x+6=，

解得：x=，

∴E（，）

設(shè)P′（m，n）

∵E為PP′的中點(diǎn)，

∴，，

解得：m=﹣，n=，

∴P'（﹣，）.

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)有（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）．

故答案為（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）．