【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),且.點(diǎn)是線段上一點(diǎn),的延長線于點(diǎn).

1)如圖1,若于點(diǎn).點(diǎn),交的延長線于點(diǎn),求證:

2)如圖2,若的角平分線,于點(diǎn),交于點(diǎn),求的值;

3)如圖3,若的延長線于點(diǎn).請證明:.

【答案】1)見解析;(2;(3)見解析

【解析】

1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論;
2)作BHOQOQ的延長線于H.先證明△OAE≌△BOH,推出OE=BH,AE=OH,再證明△OED≌△BHQ,推出DE=QH,推出AD-OQ=AE+DE-OH-HQ=2DE,于是得到結(jié)論;
3)如圖3中,作OE平分∠AOBADE.只要證明△AOE≌△OBC,推出OE=OC,再證明△ODE≌△ODC,推出∠ODE=ODC,由∠ODE=BDN,可得∠ODC=BDN,由此即可解決問題.

1)證明:
BFAD,DGBF,OEBF
∴∠DEA=OGB=90°,
∵∠OAE=DOE=OBG,OA=OB,
∴△AOE≌△BOGAAS),
AE=BG;
2)解:如圖2中,作BHOQOQ的延長線于H
AD是∠OAB的角平分線,
∴∠OAD=22.5°
∴∠ADO=67.5°,
ADOE,

∴∠BOH=OAD=22.5°,
OA=OB,∠AEO=H=90°,
∴△OAE≌△BOHAAS),
OE=BHAE=OH,
AFOH,OHBH
∴∠ADO=OBH=67.5°,
∵∠OBA=45°
∴∠HBQ=DOE=22.5°,
∵∠OED=H=90°,
∴△OED≌△BHQ,
DE=QH,
AD-OQ=AE+DE-OH-HQ=2DE,

3)解:如圖3中,作OE平分∠AOBADE

OCAB,
∴∠COB=ABO=AOE=45°,
OA=OB,∠OAE=OBC,
∴△AOE≌△OBCASA),
OE=OC,
∵∠EOD=DOCOD=OD,
∴△ODE≌△ODCSAS),
∴∠ODE=ODC,
∵∠ODE=BDF,
∴∠ODC=BDF,
∵∠CDF+ODC+BDF=180°
∴∠CDF+2BDF=180°

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,

,

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3)如圖③,在銳角ABC中,BDBE三等分外角∠PBC,CDCE三等分外角∠QCB,請分別直接寫出∠A和∠D,∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系.

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