【題目】請(qǐng)閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù):
在數(shù)學(xué)中,利用圖形在變化過程中的不變性質(zhì),常?梢哉业浇鉀Q問題的辦消去.著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個(gè)例子:請(qǐng)問如何在一個(gè)三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點(diǎn)X和Y,使得AX=BY=XY.(如圖)解決這個(gè)問題的操作步驟如下:
第一步,在CA上作出一點(diǎn)D,使得CD=CB,連接BD.第二步,在CB上取一點(diǎn)Y',作Y'Z∥CA,交BD于點(diǎn)Z',并在AB上取一點(diǎn)A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,過點(diǎn)A作AZ∥A'Z',交BD于點(diǎn)Z.第四步,過點(diǎn)Z作ZY∥AC,交BC于點(diǎn)Y,再過點(diǎn)Y作YX∥ZA,交AC于點(diǎn)X.
則有AX=BY=XY.
下面是該結(jié)論的部分證明:
證明:∵AZ∥A'Z',∴∠BA'Z'=∠BAZ,
又∵∠A'BZ'=∠ABZ.∴△BA'Z'~△BAZ.
∴ .
同理可得.∴.
∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.
在數(shù)學(xué)中,利用圖形在變化過程中的不變性質(zhì),常?梢哉业浇鉀Q問題的辦消去.著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個(gè)例子:請(qǐng)問如何在一個(gè)三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點(diǎn)X和Y,使得AX=BY=XY.(如圖)解決這個(gè)問題的操作步驟如下:
第一步,在CA上作出一點(diǎn)D,使得CD=CB,連接BD.第二步,在CB上取一點(diǎn)Y',作Y'Z∥CA,交BD于點(diǎn)Z',并在AB上取一點(diǎn)A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,過點(diǎn)A作AZ∥A'Z',交BD于點(diǎn)Z.第四步,過點(diǎn)Z作ZY∥AC,交BC于點(diǎn)Y,再過點(diǎn)Y作YX∥ZA,交AC于點(diǎn)X.
則有AX=BY=XY.
下面是該結(jié)論的部分證明:
證明:∵AZ∥A'Z',∴∠BA'Z'=∠BAZ,
又∵∠A'BZ'=∠ABZ.∴△BA'Z'~△BAZ.
∴ .
同理可得.∴.
∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.
任務(wù):(1)請(qǐng)根據(jù)上面的操作步驟及部分證明過程,判斷四邊形AXYZ的形狀,并加以證明;
(2)請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)閱讀上面的操作步驟,在(1)的基礎(chǔ)上完成AX=BY=XY的證明過程;
(3)上述解決問題的過程中,通過作平行線把四邊形BA'Z'Y'放大得到四邊形BAZY,從而確定了點(diǎn)Z,Y的位置,這里運(yùn)用了下面一種圖形的變化是 .
A.平移 B.旋轉(zhuǎn) C.軸對(duì)稱 D.位似
【答案】(1)四邊形AXYZ是菱形,證明詳見解析;(2)詳見解析;(3)D.
【解析】
(1)四邊形AXYZ是菱形.首先由“兩組對(duì)邊相互平行的四邊形是平行四邊形”推知四邊形AXYZ是平行四邊形,再由“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得結(jié)論;
(2)利用菱形的四條邊相等推知AX=XY=YZ.根據(jù)等量代換得到AX=BY=XY.
(3)根據(jù)位似變換的定義填空.
(1)四邊形AXYZ是菱形.
證明:∵ZY∥AC,YX∥ZA,
∴四邊形AXYZ是平行四邊形.
∵ZA=YZ,
∴平行四邊形AXYZ是菱形.
(2)證明:∵CD=CB,
∴∠1=∠3.
∵ZY∥AC,
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.
∴YB=YZ.
∵四邊形AXYZ是菱形,
∴AX=XY=YZ.
∴AX=BY=XY.
(3)通過作平行線把四邊形BA'Z'Y'放大得到四邊形BAZY,從而確定了點(diǎn)Z,Y的位置,此時(shí)四邊形BA'Z'Y'∽四邊形BAZY,所以該變換形式是位似變換.
故答案是:D(或位似).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=2,將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,線段BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BF,連接BF,則圖中陰影部分的面積是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一塊直角三角形紙片,兩直角邊AB=6,BC=8,將△ABC折疊,使AB落在斜邊AC上,折痕為AD,則BD的長為( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】去冬今春,我市部分地區(qū)遭受了罕見的旱災(zāi),“旱災(zāi)無情人有情”.某單位給某鄉(xiāng)中小學(xué)捐獻(xiàn)一批飲用水和蔬菜共320件,其中飲用水比蔬菜多80件.
(1)求飲用水和蔬菜各有多少件?
(2)現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛,一次性將這批飲用水和蔬菜全部運(yùn)往該鄉(xiāng)中小學(xué).已知每輛甲種貨車最多可裝飲用水40件和蔬菜10件,每輛乙種貨車最多可裝飲用水和蔬菜各20件.則運(yùn)輸部門安排甲、乙兩種貨車時(shí)有幾種方案?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來;
(3)在(2)的條件下,如果甲種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)400元,乙種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)360元.運(yùn)輸部門應(yīng)選擇哪種方案可使運(yùn)費(fèi)最少?最少運(yùn)費(fèi)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年6月份,某果農(nóng)收獲荔枝30噸,香蕉13噸,現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共10輛將這批水果全部運(yùn)往港口,已知一輛甲種貨車可裝荔枝和香蕉共5噸,且一輛甲種貨車可裝的荔枝重量(單位:噸)是其可裝的香蕉重量的4倍,一輛乙種貨車可裝荔枝香蕉各2噸;
(1)一輛甲種貨車可裝載荔枝、香蕉各多少噸?
(2)該果農(nóng)安排甲、乙兩種貨車時(shí)有幾種方案?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來;
(3)若甲種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)2000元,乙種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)1300元,則該果農(nóng)應(yīng)選擇哪種方案?使運(yùn)費(fèi)最少?最少運(yùn)費(fèi)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在△ABC外作∠ACM= ∠ABC,點(diǎn)D為直線BC上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作直線CM的垂線,垂足為E,交直線AC于F.
(1)①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),如圖1所示,求∠EDC的度數(shù)
②探究線段DF與EC的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到CB延長線上時(shí),請(qǐng)你畫出圖形,并證明此時(shí)DF與EC的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,,,AB=4,點(diǎn)是邊上動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合),過點(diǎn)作,交邊于點(diǎn).
(1)求的大。
(2)若把沿著直線翻折得到,設(shè)
① 如圖2,當(dāng)點(diǎn)落在斜邊上時(shí),求的值;
② 如圖3,當(dāng)點(diǎn)落在外部時(shí),與相交于點(diǎn),如果,寫出與的函數(shù)關(guān)系式以及定義域.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩組同時(shí)加工某種零件,乙組工作中有一次停產(chǎn)更換設(shè)備,更換設(shè)備后,乙組的工作效率是原來的2倍.兩組各自加工零件的數(shù)量y(件)與時(shí)間x(時(shí))的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)直接寫出甲組加工零件的數(shù)量y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求乙組加工零件總量a的值;
(3)甲、乙兩組加工出的零件合在一起裝箱,每滿300件裝一箱,零件裝箱的時(shí)間忽略不計(jì),求經(jīng)過多長時(shí)間恰好裝滿第1箱?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,CA平分∠DCE,且與BE的延長線相交于點(diǎn)A.
(1)若∠A=35°,∠B=30°,則∠BEC= ;(直接在橫線上填寫度數(shù))
(2)小明經(jīng)過改變∠A,∠B的度數(shù)進(jìn)行多次探究,得出∠A,∠B,∠BEC三個(gè)角之間存在固定的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)你用一個(gè)等式表示出這個(gè)關(guān)系,并進(jìn)行證明.
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