Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0），于y軸交于C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若M是拋物線的對稱軸與直線BC的交點，N是拋物線的頂點，求MN的長；

（3）若點P是拋物線上點，當(dāng)S△PAB＝8時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）MN＝1；（3）（，4）,（，4）,（1，﹣4）.

【解析】

(1)把點A、B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值即

2)結(jié)合拋物線的解析式得到點C、N的坐標(biāo)，利用B、C的坐標(biāo)可以求得直線BC的解析式，由一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和點的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進行解答即可；

(3)根據(jù)P點在拋物線上設(shè)出P點，然后再由S△PAB=8，從而求出P點坐標(biāo)

解：（1）如圖1，∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），

∴ ，

解得 ，

∴所求拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3，則C（0，﹣3）．

又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴N（1，﹣4）．

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx﹣3（k≠0）．

把B（3，0）代入，得

0＝3k﹣3，

解得k＝1，則該直線解析式為：y＝x﹣3．

故當(dāng)x＝1時，y＝﹣2，即M（1，﹣2），

∴MN＝|﹣3|﹣|﹣2|＝1．即MN＝1；

（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），由題意，得

S△PAB＝ ×4×|y|＝8，

∴|y|＝4，

∴y＝±4．

當(dāng)y＝4時，x2﹣2x﹣3＝4，

∴x1＝1+2 ，x2＝1﹣2，

當(dāng)y＝﹣4時，x2﹣2x﹣3＝﹣4，

∴x＝1，

∴當(dāng)P點的坐標(biāo)分別為（1+2 ，4）、（1﹣2 ，4）、（1，﹣4）時，S△PAB＝8．