【題目】閱讀下面材料:

在數(shù)學(xué)課上,老師請(qǐng)同學(xué)思考如下問題:如圖①,我們把一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)依次連接起來(lái)得到的四邊形是平行四邊形嗎?

小敏在思考問題,有如下思路:連接

結(jié)合小敏的思路作答.

1)若只改變圖①中四邊形的形狀(如圖②),則四邊形還是平行四邊形嗎?說(shuō)明理由;

(參考小敏思考問題方法)

2)如圖②,在(1)的條件下,若連接

①當(dāng)滿足什么條件時(shí),四邊形是矩形,寫出結(jié)論并證明;

②當(dāng)滿足____時(shí),四邊形是正方形.

【答案】1)是,理由見解析;(2)①ACBD,證明見解析;②ACBDAC=BD

【解析】

1)連接AC,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EFAC,EF=AC,然后根據(jù)平行四邊形判定定理即可得到結(jié)論;
2)①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到GHBD,GHGF,于是得到∠HGF=90°,根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論;

②在①基礎(chǔ)上,只要證明∠EHG=90°即可;

解:(1)四邊形EFGH是平行四邊形,理由如下:
如圖2,連接AC,
EAB的中點(diǎn),FBC的中點(diǎn),
EFAC,EF=AC,
同理HGACHG=AC,

綜上可得:EFHGEF=HG,
故四邊形EFGH是平行四邊形;

2)①當(dāng)ACBD時(shí),四邊形EFGH為矩形;
理由如下:
同(1)得:四邊形EFGH是平行四邊形,
ACBD,GHAC,
GHBD,
GFBD,
GHGF
∴∠HGF=90°,
∴四邊形EFGH為矩形;

②結(jié)論:當(dāng)ACBDAC=BD時(shí),四邊形EFGH是正方形.
理由:由①可知,AC=BD,四邊形EFGH是菱形,
ACBD,ACHG,
HGBD,
EHBD
EHHG,
∴∠EHG=90°
∴四邊形EFGH是正方形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①△BDF≌△DCE;②∠BMD=120°;③△AMH是等邊三角形;④S四邊形ABCD= AM2

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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1)求證:AOE≌△COF

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A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④

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(2)如圖2,正方形ABCD中,P、Q分別是BC、CD邊上的點(diǎn),且∠PAQ=45°,試通過旋轉(zhuǎn)的方式說(shuō)明:DQ+BP=PQ;

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A.5B.C.3 D.

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