【題目】如圖1,在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°,AE交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F,連接EF,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF,垂足為H.

(1)如圖2,將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG.
①求證:△AGE≌△AFE;
②若BE=2,DF=3,求AH的長(zhǎng).
(2)如圖3,連接BD交AE于點(diǎn)M,交AF于點(diǎn)N.請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪耄壕段BM,MN,ND之間有什么數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG.

∵四邊形ABCD為正方形,

∴∠BAD=90°.

又∵∠EAF=45°,

∴∠BAE+∠DAF=45°.

∴∠BAG+∠BAE=45°.

∴∠GAE=∠FAE.

在△GAE和△FAE中

∴△GAE≌△FAE.

②∵△GAE≌△FAE,AB⊥GE,AH⊥EF,

∴AB=AH,GE=EF=5.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則EC=x﹣2,F(xiàn)C=x﹣3.

在Rt△EFC中,由勾股定理得:EF2=FC2+EC2,即(x﹣2)2+(x﹣3)2=25.

解得:x=6.

∴AB=6.

∴AH=6.


(2)

解:如圖所示:將△ABM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′.

∵四邊形ABCD為正方形,

∴∠ABD=∠ADB=45°.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠ABM=∠ADM′=45°,BE=DM′.

∴∠NDM′=90°.

∴NM′2=ND2+DM′2

∵∠EAM′=90°,∠EAF=45°,

∴∠EAF=∠FAM′=45°.

在△AMN和△ANM′中, ,

∴△AMN≌△ANM′.

∴MN=NM′.

又∵BM=DM′,

∴MN2=ND2+BM2


【解析】本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用,正方形的性質(zhì),依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.(1)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG,接下來(lái)在證明∠GAE=∠FAE,然后依據(jù)SAS證明△GAE≌△FAE即可;②由全等三角形的性質(zhì)可知:AB=AH,GE=EF=5.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,接下來(lái),在Rt△EFC中,依據(jù)勾股定理列方程求解即可;(2)將△ABM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′.在△NM′D中依據(jù)勾股定理可證明NM′2=ND2+DM′2 , 接下來(lái)證明△AMN≌△ANM′,于的得到MN=NM′,最后再由BM=DM′證明即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.7
B.10
C.13
D.14

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A.
B.
C.
D.

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(1)b= , c= , 點(diǎn)B的坐標(biāo)為;(直接填寫(xiě)結(jié)果)
(2)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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A.1:1:1
B.1:1:2
C.1:2:2
D.1:2:5

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(1)如圖①,當(dāng) 時(shí),求 的值;
(2)如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時(shí),求證:AF= OA;
(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí),過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G,求證:CG= BG.

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