【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點,點A的坐標(biāo)是(3,0),點C的坐標(biāo)是(0,﹣3),動點P在拋物線上.
(1)b= , c= , 點B的坐標(biāo)為;(直接填寫結(jié)果)
(2)是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)過動點P作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時,求出點P的坐標(biāo).
【答案】
(1)-2;-3;(﹣1,0)
(2)
解:存在.
理由:如圖所示:
①當(dāng)∠ACP1=90°.
由(1)可知點A的坐標(biāo)為(3,0).
設(shè)AC的解析式為y=kx﹣3.
∵將點A的坐標(biāo)代入得3k﹣3=0,解得k=1,
∴直線AC的解析式為y=x﹣3.
∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3.
∵將y=﹣x﹣3與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立解得x1=1,x2=0(舍去),
∴點P1的坐標(biāo)為(1,﹣4).
②當(dāng)∠P2AC=90°時.
設(shè)AP2的解析式為y=﹣x+b.
∵將x=3,y=0代入得:﹣3+b=0,解得b=3.
∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3.
∵將y=﹣x+3與y=x2﹣2x﹣3聯(lián)立解得x1=﹣2,x2=3(舍去),
∴點P2的坐標(biāo)為(﹣2,5).
綜上所述,P的坐標(biāo)是(1,﹣4)或(﹣2,5).
(3)
解:如圖2所示:連接OD.
由題意可知,四邊形OFDE是矩形,則OD=EF.
根據(jù)垂線段最短,可得當(dāng)OD⊥AC時,OD最短,即EF最短.
由(1)可知,在Rt△AOC中,
∵OC=OA=3,OD⊥AC,
∴D是AC的中點.
又∵DF∥OC,
∴DF= OC= .DF= OC=
∴點P的縱坐標(biāo)是- .
∴ ,解得: .
∴當(dāng)EF最短時,點P的坐標(biāo)是:( ,- )或( ,- ).
【解析】解:(1)∵將點A和點C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得: ,解得:b=﹣2,c=﹣3.
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
∵令x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3.
∴點B的坐標(biāo)為(﹣1,0).
所以答案是:﹣2;﹣3;(﹣1,0).
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點和垂線段最短的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo).因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當(dāng)b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當(dāng)b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當(dāng)b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.;連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短;現(xiàn)實生活中開溝引水,牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3a(a≠0)與x軸交于點A(﹣1,0)和點B,與y軸交于點C(0,2),連接BC.
(1)求該拋物線的解析式和對稱軸,并寫出線段BC的中點坐標(biāo);
(2)將線段BC先向左平移2個單位長度,再向下平移m個單位長度,使點C的對應(yīng)點C1恰好落在該拋物線上,求此時點C1的坐標(biāo)和m的值;
(3)若點P是該拋物線上的動點,點Q是該拋物線對稱軸上的動點,當(dāng)以P,Q,B,C四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求此時點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九年級(3)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90,且x為整數(shù))的售價與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價為30元/件,設(shè)該商品的售價為y(單位:元/件),每天的銷售量為p(單位:件),每天的銷售利潤為w(單位:元).
時間x(天) | 1 | 30 | 60 | 90 |
每天銷售量p(件) | 198 | 140 | 80 | 20 |
(1)求出w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時,當(dāng)天的銷售利潤最大?并求出最大利潤;
(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元?請直接寫出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A、B、C分別為坐標(biāo)軸上上的三個點,且OA=1,OB=3,OC=4,
(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點P,使得以以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)若點M為該拋物線上一動點,在(2)的條件下,請求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時點M的坐標(biāo),并直接寫出|PM﹣AM|的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊,下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A﹣∠B=∠C
B.∠A:∠B:∠C=3:4:5
C.(b+c)(b﹣c)=a2
D.a(chǎn)=7,b=24,c=25
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,P是邊AC上一點(不包括端點A、C),過點P作PE⊥BC于點E,過點E作EF∥AC,交AB于點F.設(shè)PC=x,
PE=y.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)是否存在點P使△PEF是Rt△?若存在,求此時的x的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AOOM,OA=8,點B為射線OM上的一個動點,分別以OB、AB為直角邊,B為直角頂點,在OM兩側(cè)作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE,連接EF交OM于P點,當(dāng)點B在射線OM上移動時,PB的長度是 ( )
A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. PB的長度隨B點的運動而變化
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(-3,2),B(-4,-3),C(-1,-1).
(1)在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1;
(2)寫出點△A1,B1,C1的坐標(biāo)(直接寫答案):A1_________;B1________;C1________;
(3)求△A1B1C1的面積;
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