Question

【題目】已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是邊AC上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A、C），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交AB于點(diǎn)F．設(shè)PC=x，
PE=y．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）是否存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△？若存在，求此時(shí)的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，

∴sinC= ，

∵PE⊥BC于點(diǎn)E，

∴sinC= = ，

∵PC=x，PE=y，

∴y= x（0＜x＜20）

（2）解：存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△，

①如圖1，當(dāng)∠FPE=90°時(shí)，四邊形PEBF是矩形，BF=PE= x，

四邊形APEF是平行四邊形，PE=AF= x，

∵BF+AF=AB=10，

∴x=10；

②如圖2，當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，Rt△APF∽R(shí)t△ABC，

∠ARP=∠C=30°，AF=40﹣2x，

平行四邊形AFEP中，AF=PE，即：40﹣2x= x，

解得x=16；

③當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，此時(shí)不存在符合條件的Rt△PEF．

綜上所述，當(dāng)x=10或x=16，存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△．

【解析】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，注意分類(lèi)思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，難度中等．（1）在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)可求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）分三種情況：①如圖1，當(dāng)∠FPE=90°時(shí)，②如圖2，當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，③當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，進(jìn)行討論可求x的值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等即可以解答此題．