【題目】如圖,點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABCAB、BC上的動點,點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā),且速度都為1cm/s,連接AQ、CP交于點M,下面四個結(jié)論:BP=CM;②△ABQ≌△CAP;③∠CMQ的度數(shù)不變,始終等于60°;④當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時,△PBQ為直角三角形,正確的有幾個 ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

①等邊三角形ABC中,AB=BC,而AP=BQ,所以BP=CQ.

②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),利用SAS證明ABQ≌△CAP;

③由ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=ACP,從而得到∠CMQ=60°;

④設(shè)時間為t秒,則AP=BQ=tcm,PB=(4-t)cm,當(dāng)∠PQB=90°時,因為∠B=60°,所以PB=2BQ,即4-t=2t故可得出t的值,當(dāng)∠BPQ=90°時,同理可得BQ=2BP,即t=2(4-t),由此兩種情況即可得出結(jié)論.

①在等邊ABC中,AB=BC.

∵點P、Q的速度都為1cm/s,

AP=BQ,

BP=CQ.

只有當(dāng)CM=CQ時,BP=CM.

故①錯誤;

②∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABQ=CAP,AB=CA,

又∵點P、Q運動速度相同,

AP=BQ,

ABQCAP中,

∴△ABQ≌△CAP(SAS).

故②正確;

③點P、Q在運動的過程中,∠QMC不變.

理由:∵△ABQ≌△CAP,

∴∠BAQ=ACP,

∵∠QMC=ACP+MAC,

∴∠CMQ=BAQ+MAC=BAC=60°

故③正確;

④設(shè)時間為t秒,則AP=BQ=tcm,PB=(4-t)cm,

當(dāng)∠PQB=90°時,

∵∠B=60°,

PB=2BQ,即4-t=2t,t=,

當(dāng)∠BPQ=90°時,

∵∠B=60°,

BQ=2BP,得t=2(4-t),t=,

∴當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時,PBQ為直角三角形.

故④正確.

正確的是②③④,

故選:C.

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