【題目】感知定義

在一次數(shù)學活動課中,老師給出這樣一個新定義:如果三角形的兩個內(nèi)角αβ滿足α+2β90°,那么我們稱這樣的三角形為類直角三角形

嘗試運用

1)如圖1,在RtABC中,∠C90°BC3,AB5BD是∠ABC的平分線.

①證明ABD類直角三角形;

②試問在邊AC上是否存在點E(異于點D),使得ABE也是類直角三角形?若存在,請求出CE的長;若不存在,請說明理由.

類比拓展

2)如圖2,ABD內(nèi)接于⊙O,直徑AB10,弦AD6,點E是弧AD上一動點(包括端點AD),延長BE至點C,連結(jié)AC,且∠CAD=∠AOD,當ABC類直角三角形時,求AC的長.

【答案】1)①證明見解析;②CE;(2)當△ABC是“類直角三角形”時,AC的長為

【解析】

1)①證明∠A+2ABD=90°即可解決問題.

②如圖1,假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點E(異于點D,使得△ABE是“類直角三角形”,證明△ABC∽△BEC,可得,由此構(gòu)建方程即可解決問題.

2)分兩種情形:①如圖2,當∠ABC+2C=90°時,作點D關(guān)于直線AB的對稱點F,連接FA,FB.則點F在⊙O,且∠DBF=DOA

②如圖3,由①可知,C,A,F共線,當點ED共線時,由對稱性可知,BA平分∠FBC,可證∠C+2ABC=90°,利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題.

1)①證明:如圖1中,

BD是∠ABC的角平分線,

∴∠ABC2ABD,

∵∠C90°,

∴∠A+ABC90°,

∴∠A+2ABD90°,

∴△ABD為“類直角三角形”;

②如圖1中,假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點E(異于點D),使得△ABE是“類直角三角形”,

RtABC中,∵AB5,BC3,

AC,

∵∠AEB=∠C+EBC90°,

∴∠ABE+2A90°,

∵∠ABE+A+CBE90°,

∴∠A=∠CBE,

∴△ABC∽△BEC,

,

CE,

2)∵AB是直徑,

∴∠ADB90°,

AD6,AB10,

BD,

①如圖2中,當∠ABC+2C90°時,作點D關(guān)于直線AB的對稱點F,連接FA,FB,則點F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA,

∵∠DBF+DAF180°,且∠CAD=∠AOD,

∴∠CAD+DAF180°,

C,AF共線,

∵∠C+ABC+ABF90°,

∴∠C=∠ABF,

∴△FAB∽△FBC,

,即 ,

AC

②如圖3中,由①可知,點C,A,F共線,當點ED共線時,由對稱性可知,BA平分∠FBC,

∴∠C+2ABC90°,

∵∠CAD=∠CBF,∠C=∠C,

∴△DAC∽△FBC,

,即,

CDAC+6),

RtADC中,[ ac+6]2+62AC2,

AC或﹣6(舍棄),

綜上所述,當△ABC是“類直角三角形”時,AC的長為

練習冊系列答案
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x

1

3

4

5

6

y

1

2

3.4

7.5

2.4

1.4

1

0.8

1)函數(shù)y的自變量x的取值范圍是   ;

2)在圖中補全當1x2的函數(shù)圖象;

3)觀察圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì):   

4)若關(guān)于x的方程x+b有兩個不相等的實數(shù)根,結(jié)合圖象,可知實數(shù)b的取值范圍是   

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