【題目】如圖,在△ABC中,AB=7,BC=4,∠ABC=45°,射線CD⊥AB于D,點(diǎn)P為射線CD上一動(dòng)點(diǎn),以PD為直徑的⊙O交PA、PB分別為E、F,設(shè)CP=x.
(1)求sin∠ACD的值.
(2)在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中:
①當(dāng)⊙O與射線CA相切時(shí),求出所有滿足條件時(shí)x的值;
②當(dāng)x為何值時(shí),四邊形DEPF為矩形,并求出矩形DEPF的面積.
(3)如果將△ADC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°,得△A′DC′,若點(diǎn)A′和點(diǎn)C′有且只有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi),則x的取值范圍是 .
【答案】(1)sin∠ACD=;(2)①x的值為x=1或x=10;②當(dāng)x=4±2時(shí),四邊形DEPF為矩形,矩形DEPF的面積為;(3)<x<7
【解析】
(1)如圖,在Rt△BCD中,BC=4,∠ABC=45°計(jì)算BD、CD,AD的長(zhǎng)度,然后利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度即可求解;
(2)①⊙O與射線CA相切包括P在AB兩側(cè)兩種情況,當(dāng)P在AB左側(cè)時(shí),如圖,sin∠ACD==,而CD=x+2r=4,可求x,同理當(dāng)P在AB右側(cè)時(shí)可解;
②設(shè)圓的半徑為r,四邊形DEPF為矩形,包括P在AB兩側(cè)兩種情況,當(dāng)P在AB右側(cè)時(shí),如圖設(shè):PD=x﹣4=a,利用三角形APD的面積:ED=、DF=,利用ED2=DF2可以求解,同理當(dāng)當(dāng)P在AB左側(cè)的情況;
(3)利用勾股定理分別求出PA′2,PC2,然后分r2=PA′2和 r2=PC′2兩種情況,分別求解即可.
解:(1)在Rt△BCD中,BC=4,∠ABC=45°,
則CD=4,BD=4,
,
∴AD=AB﹣BD=3,
sin∠ACD==;
(2)①⊙O與射線CA相切,包括P在AB兩側(cè)兩種情況,
當(dāng)P在AB左側(cè)時(shí),如下圖,圓的半徑為r,圓與AC相切于點(diǎn)H,
則在Rt△CHO中,OC=x+r,OH=r,sin∠ACD=,
sin∠ACD==,而CD=x+2r=4,
解得:x=1,
同理當(dāng)P在AB右側(cè)時(shí),求得x=4+6=10,
所有滿足條件時(shí)x的值為x=1或x=10;
②設(shè)圓的半徑為r,四邊形DEPF為矩形,包括P在AB兩側(cè)兩種情況,
當(dāng)P在AB右側(cè)時(shí),原圖的簡(jiǎn)圖如下圖,設(shè)∠ABP=∠DPE=α,
設(shè):PD=x﹣4=a,
在Rt△ADP中,利用三角形APD的面積=EDAP=APPD,
解得:ED=,
同理可得:DF=,PF2=a2﹣DF2,
四邊形DEPF為矩形,
∴ED2=DF2,
解得:a=2,x=4+2,
則sinα=,cosα=,
S四邊形DEPF=DPsinαcosα=,
同理當(dāng)當(dāng)P在AB左側(cè)時(shí),
此時(shí)PD=4﹣x=a,
經(jīng)計(jì)算a=2,x=4﹣2,
S四邊形DEPF=DPsinαcosα=,
答:當(dāng)x=4±2時(shí),四邊形DEPF為矩形,矩形DEPF的面積為;
(3)如下圖,連接PA′、PC′,
在△PDA′中,AD′=3,PD=4﹣x,∠PDA=150°,
利用勾股定理得:PA′2=()2+(﹣x)2=x2﹣11x+,
當(dāng)r2=PA′2時(shí),解得:x=7,
同理可得:PC2=32+16﹣(8+4)x+x2,
當(dāng)r2=PC′2時(shí),解得:x=,
∴x的取值范圍為:<x<7.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】感知定義
在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中,老師給出這樣一個(gè)新定義:如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β=90°,那么我們稱(chēng)這樣的三角形為“類(lèi)直角三角形”.
嘗試運(yùn)用
(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,BD是∠ABC的平分線.
①證明△ABD是“類(lèi)直角三角形”;
②試問(wèn)在邊AC上是否存在點(diǎn)E(異于點(diǎn)D),使得△ABE也是“類(lèi)直角三角形”?若存在,請(qǐng)求出CE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
類(lèi)比拓展
(2)如圖2,△ABD內(nèi)接于⊙O,直徑AB=10,弦AD=6,點(diǎn)E是弧AD上一動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)A,D),延長(zhǎng)BE至點(diǎn)C,連結(jié)AC,且∠CAD=∠AOD,當(dāng)△ABC是“類(lèi)直角三角形”時(shí),求AC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,四邊形ABCD與四邊形CEFG都是矩形,點(diǎn)E,G分別在邊CD,CB上,點(diǎn)F在AC上,AB=3,BC=4
(1)求的值;
(2)把矩形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置,P為AF,BG的交點(diǎn),連接CP
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)判斷CP與AF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一只紙箱中裝有除顏色外完全相同的紅色、黃色、藍(lán)色乒乓球共100個(gè).從紙箱中任意摸出一球,摸到紅色球、黃色球的概率分別是0.2、0.3.
(1)試求出紙箱中藍(lán)色球的個(gè)數(shù);
(2)小明向紙箱中再放進(jìn)紅色球若干個(gè),小麗為了估計(jì)放入的紅球的個(gè)數(shù),她將箱子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色,再把它放回箱子中,多次重復(fù)上述過(guò)程后,她發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率在0.5附近波動(dòng),請(qǐng)據(jù)此估計(jì)小明放入的紅球的個(gè)數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G.
(1)求證:∠DAE=∠DCE;
(2)若∠F=30°,DG=2,求CG的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】探究:如圖①,點(diǎn)A在直線MN上,點(diǎn)B在直線MN外,連結(jié)AB,過(guò)線段AB的中點(diǎn)P作PC∥MN,交∠MAB的平分線AD于點(diǎn)C,連結(jié)BC,求證:BC⊥AD.
應(yīng)用:如圖②,點(diǎn)B在∠MAN內(nèi)部,連結(jié)AB,過(guò)線段AB的中點(diǎn)P作PC∥AM,交∠MAB的平分線AD于點(diǎn)C;作PE∥AN,交∠NAB的平分線AF于點(diǎn)E,連結(jié)BC、BE.若∠MAN=150°,則∠CBE的大小為______度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將一邊長(zhǎng)AB為4的矩形紙片折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,折痕為EF,若EF=2,則矩形的面積為( 。
A.32B.28C.30D.36
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司開(kāi)發(fā)出一款新包裝的牛奶,牛奶的成本價(jià)為6元/盒,這種新包裝的牛奶在正式投放市場(chǎng)前通過(guò)代銷(xiāo)點(diǎn)進(jìn)行了為期一個(gè)月(30天)的試營(yíng)銷(xiāo),售價(jià)為8元/盒.前幾天的銷(xiāo)量每況愈下,工作人員對(duì)銷(xiāo)售情況進(jìn)行了跟蹤記錄,并將記錄情況繪成圖象,圖中的線段表示前12天日銷(xiāo)售量y(盒)與銷(xiāo)售時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系,于是從第13天起采用打折銷(xiāo)售(不低于成本價(jià)),時(shí)間每增加1天,日銷(xiāo)售量就增加10盒.
(1)打折銷(xiāo)售后,第17天的日銷(xiāo)售量為________盒;
(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出x的取值范圍;
(3)已知日銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于560元的天數(shù)共有6天,設(shè)打折銷(xiāo)售的折扣為a折,試確定a的最小值.
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