【題目】如圖,已知點D,E是半圓O上的三等分點,C是弧DE上的一個動點,連結AC和BC,點I是△ABC的內心,若⊙O的半徑為3,當點C從點D運動到點E時,點I隨之運動形成的路徑長是_____.
【答案】π.
【解析】
連接AI,BI,作OT⊥AB交⊙O 于T,連接AT,TB,以T為圓心,TA為半徑作⊙T, 在優(yōu)弧AB上取一點G,連接AG,BG.證明∠AIB+∠G=180°,推出A,I,B,G四點共圓,
如圖,連接AI,BI,作OT⊥AB交⊙O 于T,連接AT,TB,以T為圓心,TA為半徑作⊙T,在優(yōu)弧AB上取一點G,連接AG,BG.推出點I的運動軌跡是即可解決問題.
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∵I是△ABC的內心,
∴∠AIB=135°,
∵OT⊥AB,OA=OB,
∴TA=TB,∠ATB=90°,
∴∠AGB=∠ATB=45°,
∴∠AIB+∠G=180°,
∴A,I,B,G四點共圓,
∴點I的運動軌跡是,
由題意 ,
∴∠MTM=30°,易知TA=TM=3,
∴點I隨之運動形成的路徑長是,
故答案為.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,一輪船以30km/h的速度由西向東航行,在途中接到臺風警報,臺風中心正以20km/h的速度由南向北移動.已知距臺風中心200km的區(qū)域(包括邊界)都屬于受臺風影響區(qū).當輪船接到臺風警報時,測得BC=500km,BA=300km.
問:(1)如果輪船不改變航向,輪船會不會進入臺風影響區(qū)?
(2)若輪船進入臺風影響區(qū),那么從接到警報開始,經多少時間就進入臺風影響區(qū)?(結果精確到0.01h)
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC邊的中點,點P在線段AD上,過P作PF⊥AE于F,設PA=x.
(1)求證:△PFA∽△ABE;
(2)當點P在線段AD上運動時,設PA=x,是否存在實數x,使得以點P,F,E為頂點的三角形也與△ABE相似?若存在,請求出x的值;若不存在,請說明理由;
(3)探究:當以D為圓心,DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點時,請直接寫出x滿足的條件: .
備用圖
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸相交于點(﹣1,0)、(3,0),與軸相交于點,點為線段上的動點(不與、重合),過點垂直于軸的直線與拋物線及線段分別交于點、,點在軸正半軸上,=2,連接、.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當四邊形是平行四邊形時,求點的坐標;
(3)過點的直線將(2)中的平行四邊形分成面積相等的兩部分,求這條直線的解析式.(不必說明平分平行四邊形面積的理由)
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【題目】如圖,對稱軸為直線x=1的拋物線與x軸交于B、C兩點,與y軸交于點A(0,3),且OA=OC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是直線AC上方拋物線上的一點,過點P作PD⊥x軸于點D.若△PDC與△AOB相似,求點P的坐標.
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【題目】感知定義
在一次數學活動課中,老師給出這樣一個新定義:如果三角形的兩個內角α與β滿足α+2β=90°,那么我們稱這樣的三角形為“類直角三角形”.
嘗試運用
(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,BD是∠ABC的平分線.
①證明△ABD是“類直角三角形”;
②試問在邊AC上是否存在點E(異于點D),使得△ABE也是“類直角三角形”?若存在,請求出CE的長;若不存在,請說明理由.
類比拓展
(2)如圖2,△ABD內接于⊙O,直徑AB=10,弦AD=6,點E是弧AD上一動點(包括端點A,D),延長BE至點C,連結AC,且∠CAD=∠AOD,當△ABC是“類直角三角形”時,求AC的長.
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【題目】已知點和直線,則點到直線的距離可用公式計算.
例如:求點 到直線的距離.
解:因為直線,其中.
所以點到直線的距離為.
根據以上材料,解答下列問題:
(1)點到直線的距離;
(2)已知的圓心的坐標為 ,半徑為2,判斷與直線的位置關系并說明理由;
(3)已知直線與平行,、是直線上的兩點且,是直線上任意一點,求的面積.
(4)如圖,直線與軸、軸分別交于、兩點,把沿直線翻折后得到,求的長.
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【題目】初2019級即將迎來中考,很多家長都在為孩子準備營養(yǎng)午餐.一家快餐店看準了商機,在5月5號推出了A,B,C三種營養(yǎng)套餐.套餐C單價比套餐A貴5元,三種套餐的單價均為整數,其中A套餐比C套餐少賣12份,B套餐比C套餐少賣6份,且C套餐當天賣出的數量大于26且不超過32,當天總銷售量為偶數且當天銷售額達到了1830元,商家發(fā)現C套餐很受歡迎,因此在6號加推出了C套餐升級版D套餐,四種套餐同時售賣,A套餐比5號銷售量減少,C套餐比5號銷售量增加,且A減少的份數比C套餐增加的份數多5份,B套餐銷售量不變,由于商家人手限制,兩天的總銷售量相同,則其他套餐單價不變的情況下,D套餐至少比C套餐費貴______時,才能使6號銷售額達到1950元.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E是對角線BD上任意一點,連接AE并延長AE交BC的延長線于點F,交CD于點G.
(1)求證:∠DAE=∠DCE;
(2)若∠F=30°,DG=2,求CG的長度.
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