Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點P是底邊BC上一點且滿足PA=PB，⊙O是△PAB的外接圓，過點P作PD∥AB交AC于點D．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）若BC=8，tan∠ABC=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑是．

【解析】（1）先根據圓的性質得：，由垂徑定理可得：OP⊥AB，根據平行線可得：OP⊥PD，所以PD是⊙O的切線；

（2）如圖2，作輔助線，構建直角三角形，根據三角函數設CG=x，BG=2x，利用勾股定理計算x=，設AC=a，則AB=a，AG=﹣a，在Rt△ACG中，由勾股定理列方程可得a的值，同理設⊙O的半徑為r，同理列方程可得r的值．

（1）如圖1，連接OP，

∵PA=PB，

∴，

∴OP⊥AB，

∵PD∥AB，

∴OP⊥PD，

∴PD是⊙O的切線；

（2）如圖2，過C作CG⊥BA，交BA的延長線于G，

Rt△BCG中，tan∠ABC=，

設CG=x，BG=2x，

∴BC=x，

∵BC=8，即x=8，

x=，

AC=a，則AB=a，AG=﹣a，

在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG2+CG2=AC2，

∴ (﹣a)2+()2=a2，

a=2，

∴AB=2，BE=，

Rt△BEP中，同理可得：PE=，

設⊙O的半徑為r，則OB=r，OE=r﹣，

由勾股定理得：r2=(r-)2+()2，

r=，

答：⊙O的半徑是．