【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D為BC邊上一點,(不與點B、C)重合,將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE,連接EC,則∠ACE的度數(shù)是__________,線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關系是_______________.
(2)2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC邊上一點(不與點B、C重合),將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE,連接EC,請寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD,BD,CD之間的數(shù)量關系,并說明理由.
(3)如圖3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90°,若點A滿足AB=AC,∠BAC=90°,請直接寫出線段AD的長度.
【答案】(1)60°,AC=DC+EC(2)∠ACE=45°,BD2+CD2=2AD2,詳見解析(3)AD=或AD=
【解析】
(1)證明△BAD≌△CAE,根據(jù)全等三角形的性質解答;
(2)根據(jù)全等三角形的性質得到BD=CE,∠ACE=∠B,得到∠DCE=90°,根據(jù)勾股定理計算即可;
(3)如圖3,作AE⊥CD于E,連接AD,根據(jù)勾股定理得到BC==,推出點B,C,A,D四點共圓,根據(jù)圓周角定理得到∠ADE=45°,求得△ADE是等腰直角三角形,得到AE=DE,根據(jù)勾股定理即可得到結論.
(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,
∴∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠B=60°,BD=CE,
∴BC=BD+CD=EC+CD,
∴AC=BC=EC+CD;
故答案為:60°,AC=DC+EC;
(2)BD2+CD2=2AD2,
理由如下:由(1)得,△BAD≌△CAE,∴BD=CE,∠ACE=∠B=45°,
∴∠DCE=90°,
∴CE2+CD2=ED2,
在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,
∴BD2+CD2=2AD2;
(3)如圖3,作AE⊥CD于E,連接AD,
∵在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90°,
∴BC=,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴AB=AC=,∠ABC=∠ACB=45°,
∵∠BDC=∠BAC=90°,
∴點B,C,A,D四點共圓,
∴∠ADE=45°,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴AE=DE,
∴CE=5DE,
∵AE2+CE2=AC2,
∴AE2+(5AE)2=17,
∴AE=1,AE=4,
∴AD=或AD=.
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【題目】有兩個不透明的袋子,甲袋子里裝有標有兩個數(shù)字的張卡片,乙袋子里裝有標有三個數(shù)字的張卡片,兩個袋子里的卡片除標有的數(shù)字不同外,其大小質地完全相同.
(1)從乙袋里任意抽出一張卡片,抽到標有數(shù)字的概率為 .
(2)求從甲、乙兩個袋子里各抽一張卡片,抽到標有兩個數(shù)字的卡片的概率.
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【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A(﹣1,0),B(m,0)兩點,與y軸相交于點C(0,﹣3),拋物線的頂點為D.
(1)求B、D兩點的坐標;
(2)若P是直線BC下方拋物線上任意一點,過點P作PH⊥x軸于點H,與BC交于點M,設F為y軸一動點,當線段PM長度最大時,求PH+HF+CF的最小值;
(3)在第(2)問中,當PH+HF+CF取得最小值時,將△OHF繞點O順時針旋轉60°后得到△OH′F′,過點F′作OF′的垂線與x軸交于點Q,點R為拋物線對稱軸上的一點,在平面直角坐標系中是否存在點S,使得點D、Q、R、S為頂點的四邊形為菱形,若存在,請直接寫出點S的坐標,若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,將拋物線平移后,新拋物線經(jīng)過原拋物線的頂點,新拋物線與軸正半軸交于點,聯(lián)結,,設新拋物線與軸的另一交點是,新拋物線的頂點是.
(1)求點的坐標;
(2)設點在新拋物線上,聯(lián)結,如果平分,求點的坐標;
(3)在(2)的條件下,將拋物線沿軸左右平移,點的對應點為,當和相似時,請直接寫出平移后得到拋物線的表達式.
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【題目】如圖,Rt△ABC內接于⊙O,∠BCA=90°,∠CBA=60°,AB=10,點D是AB邊上(異于點A,B)的一動點,DE⊥AB交⊙O于點E,交AC于點G,交切線CF于點F.
(1)求證:FC=CG;
(2)①當AE= 時,四辺形BOEC為菱形;
②當AD= 時,OG∥CF.
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【題目】某中學在藝術節(jié)期間向全校學生征集書畫作品,美術王老師從全校隨機抽取了四個班級記作A、B、C、D,對征集到的作品的數(shù)量進行了分析統(tǒng)計,制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)王老師抽查的四個班級共征集到作品多少件?
(2)請把圖2的條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若全校參展作品中有五名同學獲得一等獎,其中有三名男生、二名女生.現(xiàn)在要在其中抽兩名同學去參加學?偨Y表彰座談會,請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率.
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【題目】某校開設了:籃球,:足球,:跳繩,:健美操四種體育活動,為了解學生對這四種體育活動的喜歡情況,在全校范圍內隨機抽取若干名學生,進行問卷調查(每個被調查的同學必須選擇而且只能在4中體育活動中選擇一種).將數(shù)據(jù)進行整理并繪制成以下兩幅統(tǒng)計圖(未畫完整).
(1)這次調查中,一共查了 名學生;
(2)請補全兩幅統(tǒng)計圖;
(3)若有3名最喜歡足球運動的學生,1名最喜歡跳繩運動的學生組隊外出參加一次聯(lián)誼互動,欲從中選出2人擔任組長(不分正副),求兩人均是最喜歡足球運動的學生的概率.
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【題目】已知:拋物線與軸分別交于點A(-3,0),B(m,0).將y1向右平移4個單位得到y(tǒng)2.
(1)求b的值;
(2)求拋物線y2的表達式;
(3)拋物線y2與軸交于點D,與軸交于點E、F(點E在點F的左側),記拋物線在D、F之間的部分為圖象G(包含D、F兩點),若直線與圖象G有一個公共點,請結合函數(shù)圖象,求直線與拋物線y2的對稱軸交點的縱坐標t的值或取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2,3),(3,0).
(1)則b=,c=;
(2)該二次函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為,頂點坐標為;
(3)在所給坐標系中畫出該二次函數(shù)的圖象;
(4)根據(jù)圖象,當-3<x<2時,y的取值范圍是.
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