【題目】如圖,已知拋物線yx2+bx+cx軸相交于A(﹣1,0),Bm,0)兩點,與y軸相交于點C0,﹣3),拋物線的頂點為D

1)求B、D兩點的坐標;

2)若P是直線BC下方拋物線上任意一點,過點PPHx軸于點H,與BC交于點M,設Fy軸一動點,當線段PM長度最大時,求PH+HF+CF的最小值;

3)在第(2)問中,當PH+HF+CF取得最小值時,將△OHF繞點O順時針旋轉60°后得到△OHF,過點FOF的垂線與x軸交于點Q,點R為拋物線對稱軸上的一點,在平面直角坐標系中是否存在點S,使得點DQ、RS為頂點的四邊形為菱形,若存在,請直接寫出點S的坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】1B3,0),D1,﹣4);(2;(3)存在,S的坐標為(3,0)或(﹣1,﹣2)或(﹣1,2)或(﹣1,﹣

【解析】

1)將A(﹣1,0)、C0,﹣3)代入yx2+bx+c,待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式,再配方即可得到頂點D的坐標,根據(jù)y0,可得點B的坐標;

2)根據(jù)BC的解析式和拋物線的解析式,設Pxx22x3),則Mxx3),表示PM的長,根據(jù)二次函數(shù)的最值可得:當x時,PM的最大值,此時P,﹣),進而確定F的位置:在x軸的負半軸了取一點K,使∠OCK30°,過FFNCKN,當NF、H三點共線時,如圖2,FH+FN最小,即PH+HF+CF的值最小,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì),即可得結論;

3)先根據(jù)旋轉確定Q的位置,與點A重合,根據(jù)菱形的判定畫圖,分4種情況討論:分別以DQ為邊和對角線進行討論,根據(jù)菱形的邊長相等和平移的性質(zhì),可得點S的坐標.

(1)把A(﹣10),點C0,﹣3)代入拋物線yx2+bx+c,得:

,解得:,

∴拋物線的解析式為:yx22x3=(x124

∴頂點D1,﹣4),

y0時,x22x30,解得:x3或﹣1

B3,0);

2)∵B3,0),C0,﹣3),

設直線BC的解析式為:ykx+b,

,解得:,

∴直線BC的解析式為:yx3

Px,x22x3),則Mx,x3),

PM=(x3)﹣(x22x3)=﹣x2+3x=﹣(x2+

x時,PM有最大值,此時P,﹣),

x軸的負半軸了取一點K,使∠OCK30°,過FFNCKN,

FNCF

N、FH三點共線時,如圖1FH+FN最小,即PH+HF+CF的值最小,

RtOCK中,∠OCK30°OC3,

OK

OH,

KH+

RtKNH中,∠KHN30°

KNKH,

NHKN

PH+HF+CF的最小值=PH+NH;

3RtOFH中,∠OHF30°,OH,

OFOF'

由旋轉得:∠FOF'60°

∴∠QOF'30°,

∴在RtQF'O中,QF'OF'÷=÷,OQ=2QF'=2×=1,

QA重合,即Q(﹣10

4種情況:

①如圖2,以QD為邊時,由菱形和拋物線的對稱性可得S3,0);

②如圖3,以QD為邊時,

由勾股定理得:AD,

∵四邊形DQSR是菱形,

QSAD2,QSDR

S(﹣1,﹣2);

③如圖4,同理可得:S(﹣12);

④如圖5,作AD的中垂線,交對稱軸于R,可得菱形QSDR,

A(﹣10),D1,﹣4),

AD的中點N的坐標為(0,﹣2),且AD2

DN,

cosADR

DR,

QS= DR

S(﹣1,﹣);

綜上,S的坐標為(30)或(﹣1,﹣2)或(﹣12)或(﹣1,﹣).

練習冊系列答案
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A.14B.17C.20D.23

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1)如圖1,當∠CAD15°時,作∠AEC的平分線EFBC于點F

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②求證:EA′+ECEF;

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A.1B.2C.3D.4

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(3)如圖3,在Rt△DBC中,DB=3DC=5,∠BDC=90°,若點A滿足AB=AC,∠BAC=90°,請直接寫出線段AD的長度.

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根據(jù)小飛設計的尺規(guī)作圖過程,

(1)使用直尺和圓規(guī)補全圖形(保留作圖痕跡);

(2)完成下面的證明(說明:括號里填寫推理的依據(jù)).

證明:連接,,

為⊙的直徑,

).

,

,為⊙的切線( ).

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