Question

【題目】正方形ABCD中，點O是對角線DB的中點，點P是DB所在直線上的一個動點，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）當(dāng)點P與點O重合時（如圖①），猜測AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點P在線段DB上（不與點D、O、B重合）時（如圖②），探究（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）當(dāng)點P在DB的長延長線上時，請將圖③補充完整，并判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出相應(yīng)的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：AP=EF，AP⊥EF，理由如下：

連接AC，則AC必過點O，延長FO交AB于M；

∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四邊形ABCD是正方形，

∴四邊形OECF是正方形，

∴OM=OF=OE=AM，

∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，

∴△AMO≌△FOE（AAS），

∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF

（2）解：題（1）的結(jié)論仍然成立，理由如下：

延長AP交BC于N，延長FP交AB于M；

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，

∴四邊形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；

又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，

∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE（SAS），

∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF

∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，

∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF

（3）解：題（1）（2）的結(jié)論仍然成立；

如右圖，延長AB交PF于H，證法與（2）完全相同．

【解析】（1）連接AC，則AC必過O點，延長FO交AB于M，由于O是BD中點，易證得△AOM≌△FOE，則AO=EF，且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°，由此可證得AP⊥EF．（2）方法與①類似，延長FP交AB于M，延長AP交BC于N，易證得四邊形MBEP是正方形，可證得△APM≌△FEP，則AP=EF，∠APM=∠FEP；而∠APM=∠FPN=∠PEF，且∠PEF與∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN=90°，由此可證得AP⊥EF，所以（1）題的結(jié)論仍然成立．（3）解題思路和方法同（2）．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．