【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,ABC=90°,AB=BC=4,B與AB、BC交于E、F,點P是弧EF上的一個動點,連接PC,線段PC繞P點逆時針旋轉(zhuǎn)90°到PD,連接CD,AD.

(1)求證:BPC∽△ADC;

(2)當四邊形ABCD滿足ADCB且是面積為12時,求B的半徑;

(3)若B的半徑的為2,當點P沿弧EF從點E運動至點PC與B相切時,求點D的運動路徑的長.

【答案】(1)證明見解析(2)(3)

【解析】

試題分析:(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可知:BC:AC=PC:DC,PCD=ACB,從而可證明BCP=ACD,最后依據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似進行證明即可;

(2)如圖1所示:先求得ABC的面積,然后可得到ADC的面積,依據(jù)三角形的面積公式可得到AD的長,然后依據(jù)相似三角形對應邊長比例可求得PB的長;

(3)如圖2所示:由相似三角形的性質(zhì)可知:AD=2,于是可得到點D在以A為圓心,以2為半徑的圓上,然后根據(jù)點P在圓B的運動路線和確定點D經(jīng)過的路徑(。┧鶎Φ膱A心角,最后依據(jù)弧長公式求解即可.

試題解析:(1)∵∠ABC=90°,AB=BC,

∴∠ACB=45°,BC:AC=1:

PD=PC,DPC=90°,

∴∠PCD=45°,PC:DC=1:

BC:AC=PC:DC,PCD=ACB.

∴∠PCD﹣PCA=ACB﹣PCA,即BCP=ACD.

∴△BPC∽△ADC.

(2)如圖1所示:

AB=BC=4,ABC=90°,

SABC=ABBC=×4×4=8,

四邊形ABCD的面積為12,

SADC=4.

ADBC,

SADC=ADAB=4,即×4×AD=4.

AD=2.

∵△BPC∽△ADC,

解得BP=

∴⊙B的半徑為

(3)如圖2所示:

BP=2,由(2)可知AD:BP=:1,

AD=2

D在以A為圓心,以2為半徑的圓上.

∵△BPC∽△ADC,

∴∠PBC=DAC.

當點P與點E重合時,PBC=90°.

∴∠DAC=90°.

當點P′C與圓B相切時,BP′C=90°,BP′=2,BC=4,

∴∠P′BC=60°.

span>∴∠D′AC=60°.

∴∠D′AD=90°﹣60°=30°.

點D運動的路線長==

練習冊系列答案
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(3)(x﹣1)(x3+x2+x+1)=;
由此我們可以得到(x﹣1)(x99+x98+…+x+1)=;
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(2)發(fā)現(xiàn):過函數(shù)y=(x0)圖象上任意一點P,作y軸的平行線交直線l于點D,請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的PB,PD的數(shù)量關(guān)系 ;

應用:①如圖2,連接BD,當PBD是等邊三角形時,求此時點P的坐標;

②如圖3,分別過點P、D作y的垂線交y軸于點E、F,問是否存在點P,使得矩形PEFD的周長取得最小值?若存在,請求出此時點P的坐標及矩形PEFD的周長;若不存在,請說明理由.

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