Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B（﹣2，2），過反比例函數(shù)y=（x＜0，常數(shù)k＜0）圖象上一點A（﹣，m）作y軸的平行線交直線l：y=x+2于點C，且AC=AB．

（1）分別求出m、k的值，并寫出這個反比例函數(shù)解析式；

（2）發(fā)現(xiàn)：過函數(shù)y=（x＜0）圖象上任意一點P，作y軸的平行線交直線l于點D，請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的PB，PD的數(shù)量關(guān)系 ；

應(yīng)用：①如圖2，連接BD，當(dāng)△PBD是等邊三角形時，求此時點P的坐標(biāo)；

②如圖3，分別過點P、D作y的垂線交y軸于點E、F，問是否存在點P，使得矩形PEFD的周長取得最小值？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)及矩形PEFD的周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x＜0）（2）PB=PD①（1﹣， +1）；②存在，（﹣1，2），4

【解析】

試題分析：（1）求出AC、AB的表達(dá)式，根據(jù)AC=AB求出m的值，然后利用待定系數(shù)法求出k的值即可；

（2）設(shè)P（﹣m，）（m＞0），則D（﹣m，﹣m+2），根據(jù)勾股定理求出PB的長即可；①由△PBD是等邊三角形，于是得到PB=BD=PD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到（2﹣m）=（+m﹣2）解得：m=3﹣，或m=﹣1，于是得到P（﹣3，）或P（1﹣， +1）；②根據(jù)矩形的周長的計算公式得到矩形PEFD的周長=（﹣）2+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）AC=m﹣，AB=，

∵AC=AF，

∴m=4，

∴點A（﹣，4），

∴k=﹣2，

∴y=﹣（x＜0）；

（2）設(shè)P（﹣m，）（m＞0），則D（m，m+2），

∴PD=﹣（﹣m+2）=+m﹣2，

BP==+m﹣2，

∴PD=PB；

故答案為：PB=PD；

①∵△PBD是等邊三角形，

∴PB=BD=PD，

∵PD∥y軸，

∴（2﹣m）=（+m﹣2）

∴+m﹣2=，

∴m=3﹣，或m=﹣1，

∴P（1﹣， +1）；

②答：存在滿足題設(shè)條件的點P．

設(shè)P（﹣m，）（m＞0），則D（﹣m，﹣m+2），

∴矩形PEFD的周長=2（PD+PE）=2（+m﹣2+m）=+4m﹣4=（﹣）2+4，

∴當(dāng)﹣=0，即m=2時，P（﹣1，2）時，矩形PEFD的周長取得最小值為4．