【題目】如圖1,已知ABC中,ABBC1,∠ABC90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE,長直角邊為DF),將直角三角板DEFD點按逆時針方向旋轉.

1)在圖1中,DE交邊ABMDF交邊BCN,證明:DMDN;

2)在這一旋轉過程中,直角三角板DEFABC的重疊部分為四邊形DMBN,請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明是如何變化的?若不發(fā)生變化,求出其面積;

3)繼續(xù)旋轉至如圖2的位置,延長ABDEM,延長BCDFN,DMDN是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

【答案】1)詳情見解析;(2)四邊形DMBN面積不發(fā)生變化,面積為;(3)仍然成立,證明見解析.

【解析】

1)連接BD,求出BD=DC,∠MDB=CDN,∠C=ABD,根據(jù)ASA證明MBDNCD,進而求證即可;

2)根據(jù)全等得出MBDNCD面積相等,求出四邊形DMBN的面積等于BDC的面積,進而求解即可;

3)連接BD,求出BD=DC,∠MDB=CDN,∠C=ABD,根據(jù)ASA證明MBDNCD,進而求證即可.

(1)如圖1,連接BD.

∵在RtABC中,AB=BC,AD=DC

BD=DC=AD,∠BDC=90°

∴∠ABD=C=45°,

∵∠MDB+BDN=90°,∠CDN+BDN=90°

∴∠MDB=NDC,

MBDNCD中,

∵∠MDB=NDC,BD=DC,∠MBD=C,

MBDNCD

DM=DN.

(2)四邊形DMBN面積不發(fā)生變化.

由(1)得MBDNCD,

SMBD=SNCD,

∴四邊形DMBN面積=SDMB+SBDN= SCND+ SBDN=SABC=.

(3)DM=DN仍然成立.

如圖2,連接BD,

∵在RtABC中,AB=BCAD=DC

DB=DC,BDC=90°,

∴∠DCB=DBC=45°,

∴∠DBM=DCN=135°

∵∠NDC+CDM=90°,∠BDM+CDM=90°

∴∠CDN=BDM,

CDNBDM中,

∵∠CDN=BDM,DC=DB,∠DCN=DBM

CDNBDM

DM=DN.

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