【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)M(﹣2, ),頂點(diǎn)坐標(biāo)為N(﹣1, ),且與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P為拋物線對稱軸上的動點(diǎn),當(dāng)△PBC為等腰三角形時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q,使△QBM的周長最小?若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+;(2)當(dāng)△PBC為等腰三角形時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1, ),(﹣1, ),(﹣1,2 ),(﹣1,﹣2),(﹣1,0);(3)在直線AC上存在一點(diǎn)Q(﹣, ),使△QBM的周長最。
【解析】分析:(1)先由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為N(﹣1, ),可設(shè)其解析式為y=a(x+1)2+,再將M(﹣2, )代入,得=a(﹣2+1)2+,解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式;
(2)先求出拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交點(diǎn)A、B,與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理得到BC==2.設(shè)P(﹣1,m),當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論:①CP=CB;②BP=BC;③PB=PC;
(3)先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC,連結(jié)BC并延長至B′,使B′C=BC,連結(jié)B′M,交直線AC于點(diǎn)Q,由軸對稱的性質(zhì)可知此時△QBM的周長最小,由B(﹣3,0),C(0, ),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B′(3,2),再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線MB′的解析式為y=x+,直線AC的解析式為y=﹣x+,然后解方程組,即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo).
本題解析:
(1)由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為N(﹣1,),可設(shè)其解析式為y=a(x+1)2+,
將M(﹣2,)代入,得=a(﹣2+1)2+,
解得a=﹣,
故所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+;
(2)∵y=﹣x2﹣x+,
∴x=0時,y=,
∴C(0,).
y=0時,﹣ x2﹣x+=0,
解得x=1或x=﹣3,
∴A(1,0),B(﹣3,0),
∴BC==2.
設(shè)P(﹣1,m),
當(dāng)CP=CB時,有CP==2,解得m=±;
當(dāng)BP=BC時,有BP==2,解得m=±2;
當(dāng)PB=PC時, =,解得m=0,
綜上,當(dāng)△PBC為等腰三角形時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1, ),(﹣1, ),(﹣1,2 ),(﹣1,﹣2),(﹣1,0);
(3)由(2)知BC=2,AC=2,AB=4,
所以BC2+AC2=AB2,即BC⊥AC.
連結(jié)BC并延長至B′,使B′C=BC,連結(jié)B′M,交直線AC于點(diǎn)Q,
∵B、B′關(guān)于直線AC對稱,
∴QB=QB′,
∴QB+QM=QB′+QM=MB′,
所以此時△QBM的周長最。
由B(﹣3,0),C(0,),易得B′(3,2).
設(shè)直線MB′的解析式為y=kx+n,
將M(﹣2,),B′(3,2)代入,
得,解得,
即直線MB′的解析式為y=x+.
同理可求得直線AC的解析式為y=﹣x+.
由,解得,即Q(﹣,).
所以在直線AC上存在一點(diǎn)Q(﹣, ),使△QBM的周長最。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知平行四邊形ABCO,以點(diǎn)O為原點(diǎn),OC所在的直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,AB交y軸于點(diǎn)D,AD=4,OC=10,∠A=60°,線段EF垂直平分OD,點(diǎn)P為線段EF上的動點(diǎn),PM⊥x軸于點(diǎn)M點(diǎn),點(diǎn)E與E'關(guān)于x軸對稱,連接BP、E'M,則BP+PM+ME'的長度的最小值為______.
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【題目】某商場計劃撥款9萬元從廠家購進(jìn)50臺電視機(jī),已知該廠生產(chǎn)三種不同型號的電視機(jī),出廠價分別為甲種每臺1500元, 乙種每臺2100元, 丙種每臺2500元, 若商場同時購進(jìn)其中兩種不同型號的電視機(jī)共50臺,用去9萬元.請你通過計算,說明商場有哪些進(jìn)貨方案.
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【題目】某鎮(zhèn)道路改造工程,由甲、乙兩工程隊(duì)合作完成.甲工程隊(duì)單獨(dú)施工比乙工程隊(duì)單獨(dú)施工多用30天完成此項(xiàng)工程,甲工程隊(duì)30天完成的工程與甲、乙兩工程隊(duì)10天完成的工程相等.
(1)求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天?
(2)如果甲工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)1萬元,乙工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)2.5萬元,甲工程隊(duì)至少要單獨(dú)施工多少天后,再由甲、乙兩工程隊(duì)合作施工完成剩下的工程,才能使施工費(fèi)不超過64萬元?
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【題目】如圖,海中有一個小島,它的周圍14海里內(nèi)有暗礁,在小島正西方有一點(diǎn)測得在北偏東60°方向上有一燈塔,燈塔在小島北偏東15°方向上20海里處,漁船跟蹤魚群沿方向航行,每小時航行海里.
(1)如果漁船不改變航向繼續(xù)航行,有沒有觸礁危險?請說明理由.
(2)求漁船從點(diǎn)處航行到燈塔,需要多少小時?
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=(x-2)2+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點(diǎn).已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)A(1,0)及點(diǎn)B.
(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,寫出滿足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范圍.
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【題目】如圖1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DE,長直角邊為DF),將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn).
(1)在圖1中,DE交邊AB于M,DF交邊BC于N,證明:DM=DN;
(2)在這一旋轉(zhuǎn)過程中,直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN,請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明是如何變化的?若不發(fā)生變化,求出其面積;
(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置,延長AB交DE于M,延長BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
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【題目】如圖,一漁船由西往東航行,在A點(diǎn)測得海島C位于北偏東60°的方向,前進(jìn)20海里到達(dá)B點(diǎn),此時,測得海島C位于北偏東30°的方向,則海島C到航線AB的距離CD等于_______海里.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,E為BC邊上一點(diǎn),DF⊥AE于F,BG⊥AE于G.
(1)求證:DF=BG+FG.
(2)連接FC,CG,若四邊形DCGF的面積為40,求FC的長.
(3)在(2)的條件下,若AG=7,P為FC的延長線上任一點(diǎn),連PD、PG,直接寫出的值為___.
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