Question

【題目】已知：如圖，拋物線交x軸于A（－2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，6）．

（1）寫出a，b，c的值；

（2）連接BC，點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥x軸，過點(diǎn)P作PD⊥BC于交直線AD于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，AD長為h．

①求h與t的函數(shù)關(guān)系式和h的最大值（請求出自變量t的取值范圍）；

②過第二象限點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若DP=CE，時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）a＝－1，b＝1，c＝6；（2）①，當(dāng)時，h有最大值為 ，當(dāng)＜t<3時，無最大值，②符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解；（2）①如圖，過點(diǎn)P作PG⊥x于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DK∥x軸交PG于點(diǎn)K，根據(jù)三角函數(shù)值和矩形性質(zhì)得，再求最值；②如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)H，根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)，△PHD≌△CNE（AAS），PH=CN=OC－ON，根據(jù)矩形性質(zhì)，t＋2=，解得，（舍去），把t=2代入拋物線，可求點(diǎn)P（2，4）．當(dāng)點(diǎn)D在第三象限時，不存在點(diǎn)P滿足DP=CE．故符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）．

（1）根據(jù)題意得

所以，a＝－1，b＝1，c＝6；

（2）①如圖，過點(diǎn)P作PG⊥x于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DK∥x軸交PG于點(diǎn)K，

∵PD⊥BC，DK⊥y軸，∠BCO=∠PDK，OB=3，OC=6，

∴tan∠BCO=tan∠PDK=，DK=t＋2，PK=DK=，

∵DK∥AB，AD⊥AB，∴四邊形ADKG為矩形，

∴AD=KG，

h=AD=KG=|PG－PK|=

令，，，（不合題意，舍去）

∴

當(dāng)0＜t≤時，

∴當(dāng)時，h有最大值為

當(dāng)＜t<3時，無最大值．

②如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)H，

∵PD⊥BC，∴∠PHD=∠ECE=90°－∠CMH

在△PHD與△CNE中，

，

∴△PHD≌△CNE（AAS），

∴PH=CN=OC－ON，

∵四邊形ADNO為矩形，

∴CN==，PH=t＋2，

∴t＋2=，

解得，（舍去），

把t=2代入拋物線，∴點(diǎn)P（2，4）．

當(dāng)點(diǎn)D在第三象限時，不存在點(diǎn)P滿足DP=CE．

∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）．