Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使與四邊形ACDB面積相等的四邊形ACPB的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求△APD的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，（1，4）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，3）；（3）△APD的面積是3．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A（-1，0），代入即可求出a、c的值，即得到解析式，化成頂點(diǎn)式就能求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接BC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，令y=0，求出B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和面積公式能求出四邊形ACDB和△BCD的面積，根據(jù)B、C的坐標(biāo)能求出直線BC，設(shè)直線DP的函數(shù)解析式為y=-x+b，把點(diǎn)D（1，4）代入即可求出直線DP的函數(shù)解析式，求出y=-x+5和y=-x2+2x+3組成的方程組的解即可；
（3）根據(jù)對(duì)稱(chēng)得到△APD≌△BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到答案．

（1）∵拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸
交于A（-1，0）
∴

，
解得

，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，
∵y=-（x2-2x）+3=-（x2-2x+1-1）+3=-（x-1）2+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），
答：拋物線的解析式是y=-x2+2x+3，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，4）．

（2）連接BC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．
令y=0則-x2+2x+3=0，
∴x1=-1，x2=3
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴S四邊形ACDB=S△AOC+S梯形OEDC+S△EBD=×1×3+×(3+4)×1+×2×4＝9
∵S△ABC＝×4×3＝6
∴S△BCD=3
∵點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，S四邊形ACDB=S四邊形ACPB，
∴S△BCP=S△BCD=3，
∴點(diǎn)P是過(guò)D且與直線BC平行的直線和拋物線的交點(diǎn)，
而直線BC的函數(shù)解析式為y=-x+3，
∴設(shè)直線DP的函數(shù)解析式為y=-x+b，過(guò)點(diǎn)D（1，4），
∴-1+b=4，b=5，
∴直線DP的函數(shù)解析式為y=-x+5，
把y=-x+5代入y=-x2+2x+3中，解得x1=1，x2=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），
答：與四邊形ACDB面積相等的四邊形ACPB的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，3）．
（3）∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于DE對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于DE對(duì)稱(chēng)，
∴△APD≌△BCD，
∴S△APD=S△BCD=3，
答：△APD的面積是3．