Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3與y軸的交點為A，點A與點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的y與x的部分對應(yīng)值如下表：

x	…	﹣1	0	1	3	4	…
y	…	8		0	0		…

（1）拋物線的對稱軸是 _________ ．點A（ ______， ____），B（ _____， _____）；

（2）求二次函數(shù)y=ax2+bx+3的解析式；

（3）已知點M（m，n）在拋物線y=ax2+bx+3上，設(shè)△BAM的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式、畫出函數(shù)圖象．并利用函數(shù)圖象說明S是否存在最大值，為什么？

Answer 1

【答案】（1）x=2，A（0，3），B（4，3）；

（2）y=x2-4x+3；

（3）S=，S不存在最大值，從圖象可知：當(dāng)m＜0或m＞4時，S的值可以無限大．

【解析】

試題（1）利用當(dāng)x=1和3時，y=0，得出拋物線的對稱軸是直線x=2，再利用x=0時，y=3，則點A（ 0，3 ），即可得出B點坐標(biāo)；

（2）根據(jù)圖象過（1，0），（3，0）則設(shè)拋物線為y=a（x-1）（x-3），把（0，3）代入可得出a的值，進而得出解析式；

（3）當(dāng)0＜m＜4時，點M到AB的距離為3-n，當(dāng)m＜0或m＞4時，點M到直線AB的距離為n-3，利用三角形面積得出S與m的函數(shù)關(guān)系式，利用圖象得出S是否存在最大值．

試題解析：（1）根據(jù)當(dāng)x=1和3時，y=0，得出拋物線的對稱軸是：直線x=2，

∵拋物線y=ax2+bx+3與y軸的交點為A，

∴x=0時，y=3，則點A（0，3），故B（4，3）；

（2）圖象過（1，0），（3，0），

設(shè)拋物線為y=a（x-1）（x-3），

把（0，3）代入可得：3=a（0-1）（0-3），

解得：a=1，

故二次函數(shù)y=ax2+bx+3的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3；

（3）如圖1，

∵AB∥x軸，AB=4，

當(dāng)0＜m＜4時，點M到AB的距離為3-n，

∴S△ABM=（3-n）×4=6-2n，

又∵n=m2-4m+3，S1=-2m2+8m，

∴當(dāng)m＜0或m＞4時，點M到直線AB的距離為n-3，S2=×4（n-3）=2n-6，

而n=m2-4m+3，S2=2m2-8m，

S=，

故函數(shù)圖象如圖2（x軸上方部分）所示，S不存在最大值，從圖象可知：當(dāng)m＜0或m＞4時，S的值可以無限大．