Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD．
（1）如圖1，請連接AC，BD，求證：AC垂直平分BD；

（2）如圖2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的動點，且∠EAF=60°，AE，AF分別與BD交于G，H，求證：△AGH∽△AFE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若 EF⊥CD，直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：如圖1中，連接BD、AC．

∵AB=AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB=CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴AC是線段BD的垂直平分線，

即AC垂直平分線段BD．

（2）解：如圖2中，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120得到△ADM．連接AC交BD于O．

∵B、D關(guān)于AC對稱，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∵∠BCD=60°，

∴∠BAD=120°，

∵∠EAF=60°，

∴∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAM=60°，

∴∠FAE=∠FAM，

∵∠ADM=∠ABE=90°=∠ADF，

∴F、D、M共線，

∵FA=FA，AE=AM，

∴△FAE≌△FAM，

∴∠AFE=∠AFM，

∵∠CAD=∠CAB=60°=∠EAF，

∴∠GAO=∠DAF，

∵∠AGO+∠GAO=90°，∠AFD+∠FAD=90°，

∴∠AGO=∠ADF，

∴∠AGH=∠AFE，∵∠GAH=∠FAE，

∴△AGH∽△AFE．

（3）解：如圖3中，連接AC交BD于O，作HM⊥AD于M．

∵EF⊥CD，

∴∠EFD=90°，

由（2）可知∠AFD=∠AFE=∠AGO=45°，

∵∠ADF=90°，

∴AD=DF，設(shè)HM=AM=a，則DH=2a，DM= a，

在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=（1+ ）a，

∴CD=BD= AD=（3+ ）a，

在Rt△AHD中，∵∠ADH=30°，AD=（1+ ）a，

∴AO=OG= AD= a，OD= OA= a，

∴OH=OD﹣DH= a﹣2a= a，

∴GH=OG+OH= a，

∴ = = ．

【解析】（1）利用垂直平分線的判定定理及兩點確定一條直線可證出；（2）通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，即△FAE≌△FAM，進(jìn)而得出∠AFE=∠AFM，∠GAH=∠FAE，證出相似；（3）利用（2）的結(jié)論得出∠ADF=90°，AD=DF，設(shè)出參數(shù)HM=AM=a，運用三角函數(shù)定義，用a的代數(shù)式分別表示出BD，GH，可求出比值.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義的相關(guān)知識點，需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)才能正確解答此題．