Question

【題目】新定義：我們把只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做準(zhǔn)矩形．
（1）圖①、圖②均為3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．線段AB、BC的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在圖①、圖②中各畫一個(gè)準(zhǔn)矩形ABCD，要求：準(zhǔn)矩形ABCD的頂點(diǎn)D在格點(diǎn)上，且兩個(gè)準(zhǔn)矩形不全等．

（2）如圖③，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，準(zhǔn)矩形ABMN的頂點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊上．若準(zhǔn)矩形ABMN的一條對(duì)角線長(zhǎng)為5，直接寫出此時(shí)該準(zhǔn)矩形的面積

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，圖②所示．

（2）解：如圖③，

在正方形ABCD中，∠ABC=∠D=90°，

∵∠ANM=90°，

∴∠DAN=∠CNM（同角的余角相等），

∴△ADN∽△NCM，

∴ = ．

①連接AM，

當(dāng)AM=5時(shí)，在直角△ABM中，AB=4，∠ABC=90，AM=5，則由勾股定理得到：BM= = =3，

所以CM=4﹣3=1．

所以 = ，

則DNNC=4．

又DN+NC=4，

∴DN=NC=2，

∴S準(zhǔn)矩形ABMN=S正方形ABCD﹣S△ADN﹣S△NCM=4×4﹣ ×4×2﹣ ×2×1=11；

②連接BN，

當(dāng)BN=5時(shí)，在直角△BCN中，AB=4，∠ABC=90，BN=5，則由勾股定理得到：CN= = =3，

所以DN=4﹣3=1．

所以 = ，

∴CM= ，

∴S準(zhǔn)矩形ABMN=S正方形ABCD﹣S△ADN﹣S△NCM=4×4﹣ ×4×1﹣ ×3× = ；

綜上所述，此時(shí)該準(zhǔn)矩形的面積是11或= ．

【解析】（1）以AC為直徑畫圓與格點(diǎn)相交的D點(diǎn)都符合題意；（2）對(duì)角線長(zhǎng)為5，須分類討論，AM=5或BN=5，利用相似三角形和勾股定理，可求出準(zhǔn)矩形的面積.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，需要了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形才能得出正確答案．