【題目】如圖,若拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A,B兩點,與y軸相交于點C,直線y=x﹣3經過點B,C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是直線BC下方拋物線上一動點,過點P作PH⊥x軸于點H,交BC于點M,連接PC.
①線段PM是否有最大值?如果有,求出最大值;如果沒有,請說明理由;
②在點P運動的過程中,是否存在點M,恰好使△PCM是以PM為腰的等腰三角形?如果存在,請直接寫出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①有,;②存在,(2,﹣3)或(3﹣,2﹣4)
【解析】
(1)由直線表達式求出點B、C的坐標,將點B、C的坐標代入拋物線表達式,即可求解;
(2)①根據PM=(x﹣3)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣(x﹣)2+即可求解;
②分PM=PC、PM=MC兩種情況,分別求解即可.
解:(1)對于y=x﹣3,令x=0,y=﹣3,y=0,x=3,
故點B、C的坐標分別為(3,0)、(0,﹣3),
將點B、C的坐標代入拋物線表達式得:,
解得:,
故拋物線的表達式為:y=x2﹣2x﹣3;
(2)設:點M(x,x﹣3),則點P(x,x2﹣2x﹣3),
①有,理由:PM=(x﹣3)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣(x﹣)2+,
∵﹣1<0,故PM有最大值,當x=時,PM最大值為:;
②存在,理由:
PM2=(x﹣3﹣x2+2x+3)2=(﹣x2+3x)2;
PC2=x2+(x2﹣2x﹣3+3)2;
MC2=(x﹣3+3)2+x2;
(Ⅰ)當PM=PC時,則(﹣x2+3x)2=x2+(x2﹣2x﹣3+3)2,
解得:x=0或2(舍去0),
故x=2,故點P(2,﹣3);
(Ⅱ)當PM=MC時,則(﹣x2+3x)2=(x﹣3+3)2+x2,
解得:x=0或3±(舍去0和3+),
故x=3﹣,則x2﹣2x﹣3=2﹣4,
故點P(3﹣,2﹣4).
綜上,點P的坐標為:(2,﹣3)或(3﹣,2﹣4).
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】我們定義:在平面直角坐標系中,經過點,且平行于直線或,叫過該點的“二維線”.例如,點的“二維線”有:,.
(1)寫出點的“二維線”______;
(2)若點的“二維線”是,,求、的值;
(3)若反比例函數圖像上的一個點有一條“二維線”是,求點的另一條“二維線”.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,三角形A’B’C是由三角形ABC經過某種平移得到的,點A與點A’,點B與點B’,點C與點C’分別對應,觀察點與點坐標之間的關系,解答下列問題.
(1)分別寫出點A、點B、點C、點A’、點B’、點C’的坐標,并說明三角形A’B’C’是由三角ABC經過怎樣的平移得到的.
(2)若點M (a+2, 4-b)是點N (2a-3, 2b- 5)通過(1)中的變換得到的,求a和b的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑AB=10,弦AC=6,∠ACB的平分線交⊙O于D,過點D作DE∥AB交CA的延長線于點E,連接AD,BD.
(1)由AB,BD,圍成的曲邊三角形的面積是 ;
(2)求證:DE是⊙O的切線;
(3)求線段DE的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】2019年10月1日是新中國成立70周年.某學校國慶節(jié)后,為了調查學生對這場閱兵儀式的關注情況,在全校組織了一次全體學生都參加的“閱兵儀式有關知識”的考試,批改試卷后,學校政教處隨機抽取了部分學生的考卷進行成績統(tǒng)計,發(fā)現成績最低是51分,最高是100分,根據統(tǒng)計結果,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.
調查結果頻數分布表
分數段/分 | 頻數 | 頻率 |
0.1 | ||
18 | 0.18 | |
0.25 | ||
35 | ||
12 | 0.12 |
請根據以上信息,解答下列問題:
(1) ;
(2)若把上面頻數分布表中的信息畫在扇形統(tǒng)計圖內,則所在扇形圓心角的度數是 ;
(3)請將頻數分布直方圖補充完整;
(4)若該校有1200名學生,請估計該校分數在范圍的學生有多少名.
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【題目】同學:你去過黃山嗎?在黃山的上山路上,有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺階,如圖8是其中的甲、乙段臺階路的示意圖,圖8中的數字表示每一級臺階的高度(單位:cm).并且數d,e,e,c,c,d的方差p,數據b,d,g,f,a,h的方差q,(10cmabcdefgh20cm,且 pq),請你用所學過的有關統(tǒng)計知識(平均數、中位數、方差和極差)回答下列問題:
(1)兩段臺階路有哪些相同點和不同點?
(2)哪段臺階路走起來更舒服?為什么?
(3)為方便游客行走,需要重新整修上山的小路.對于這兩段臺階路,在臺階數不變的情況下,請你提出合理的整修建議.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】數學興趣活動課上,小致將等腰的底邊與直線重合.
(1)如圖,在中,,點在邊所在的直線上移動,根據“直線外一點到直線上所有點的連線中垂線段最短”,小致發(fā)現的最小值是____________.
(2)為進一步運用該結論,在(1)的條件下,小致發(fā)現,當最短時,如圖,在中,作平分交于點點分別是邊上的動點,連結小致嘗試探索的最小值,小致在上截取使得連結易證,從而將轉化為轉化到(1)的情況,則的最小值為 ;
(3)解決問題:如圖,在中,,點是邊上的動點,連結將線段繞點順時針旋轉,得到線段連結,求線段的最小值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,點M、N分別在線段AC、AB上,將△ANM沿直線MN折疊,使點A的對應點D恰好落在線段BC上,當△DCM為直角三角形時,折痕MN的長為__.
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