【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,點(diǎn)E,F分別為AB,AD邊上任意一點(diǎn),現(xiàn)將△AEF沿直線EF對折,點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G.
(1)如圖2,當(dāng)EF∥BD,且點(diǎn)G落在對角線BD上時,求DG的長;
(2)如圖3,連接DG,當(dāng)EF∥BD且△DFG是直角三角形時,求AE的值;
(3)當(dāng)AE=2AF時,FG的延長線交△BCD的邊于點(diǎn)H,是否存在一點(diǎn)H,使得以E,H,G為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似,若存在,請求出AE的值;若不存在,請說明理由
【答案】(1);(2)AE=或;(3)存在,滿足條件的AE的值為3或或或
【解析】
(1)連接AG,如圖2所示,首先證明AG⊥BD,解直角三角形即可解決問題;
(2)分兩種情形:①當(dāng)∠DGF=90°時,此時點(diǎn)D,G,E三點(diǎn)共線,②當(dāng)∠GDF=90°時,點(diǎn)G在DC上,過點(diǎn)E作EH⊥CD于H,則四邊形ADHE是矩形,分別求解即可;
(3)分四種情形:①當(dāng)△AEF∽△GHE時,如圖4﹣1,過點(diǎn)H作HP⊥AB于P;②當(dāng)△AEF∽△GHE時,如圖4﹣2,過點(diǎn)H作HP⊥AB于P;③當(dāng)△AEF∽△GEH時,如圖4﹣3,過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EN⊥MN于N;④當(dāng)△AEF∽△GEH時,如圖4﹣4,過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EN⊥MN于N,過點(diǎn)H作HQ⊥AD于Q,分別求解即可.
解:(1)連接AG,如圖2所示,
由折疊得:AG⊥EF,
∵EF∥BD,
∴AG⊥BD,
在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,
∴∠DAB=90°,AD=BC=6,
∴DB===10,
∴cos∠ADB===,
∴DG=ADcos∠ADB=6×=;
(2)①當(dāng)∠DGF=90°時,此時點(diǎn)D,G,E三點(diǎn)共線,
設(shè)AF=3t,則FG=3t,AE=4t,DF=6﹣3t,
在Rt△DFG中,DG2+FG2=DF2,即DG2=(6﹣3t)2﹣(3t)2=36﹣36t,
∵tan∠FDG==,
∴,
解得t=,
∴AE=;
②當(dāng)∠GDF=90°時,點(diǎn)G在DC上,過點(diǎn)E作EH⊥CD于H,則四邊形ADHE是矩形,EH=AD=6.
設(shè)AF=3t,則FG=3t,AE=4t,DF=6﹣3t,
∵∠FDG=∠FGE=∠EHG=90°,
∴∠DGF+∠DFG=90°,∠DGF+∠EGH=90°,
∴∠DFG=∠EGH,
∴△GDF∽△EHG,
∴,
∴,
∴DG=,GH=8﹣4k,
∵DG+GH=AE,
∴+8﹣4k=4k,
∴k=,
∴AE=,
綜上所述:AE=或;
(3)①當(dāng)△AEF∽△GHE時,如圖4﹣1,過點(diǎn)H作HP⊥AB于P,
∵∠AEF=∠FEG=∠EHG,∠EHG+∠HEG=90°,
∴△FEG+∠HEG=90°,
∴∠A=∠FEH=90°,
∴△AEF∽△EHF,
∴EF:HE=AF:AE=1:2,
∵∠A=∠HPE=90°,
∴∠AEF+∠HEP=90°,∠HEP+∠EHP=90°,
∴∠AEF=∠EHP,
∴△AEF∽△HPE,
∴EA:HP=EF:EH=1:2,
∵HP=6,
∴AE=3;
②當(dāng)△AEF∽△GHE時,如圖4﹣2,過點(diǎn)H作HP⊥AB于P,
同法可得EF:HE=1:2,EA:HP=1:2,
設(shè)AF=t,則AE=2t,EP=2t,HP=4t,
∴BP=8﹣4t,
∵△BHP∽△BDA,
∴4t:6=(8﹣4t):8,
解得:t=,AE=;
③當(dāng)△AEF∽△GEH時,如圖4﹣3,過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EN⊥MN于N.
設(shè)AF=t,則AE=2t,DF=6﹣t,
由翻折可知:△AEF≌△GEF,AE=GE,
∵△AEF∽△GEH,AE=GE,
∴△AEF≌△GEH(AAS或ASA),
∴FG=GH,
∵MG∥DH,
∴FM=(6﹣t),
∴AM=EN=AF+FM=,
又∵△FMG∽△GNE,且GF:GE=1:2,
∵MG=NE=AM=,GN=2FN=6﹣t,
∵MN=AE,
∴+6﹣t=2t,
解得t=,
∴AE=;
④當(dāng)△AEF∽△GEH時,如圖4﹣4,過點(diǎn)G作MN∥AB交AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作EN⊥MN于N,過點(diǎn)H作HQ⊥AD于Q,設(shè)AF=t,則AE=2t,
設(shè)FM=a,
∴NG=2a,NE=a+t,
∴MG=EN=AM=,
∴+2a=2t①,
由上題可知:MF=MQ=a,QH=2MG=a+t,
∴DQ=6﹣t﹣2a,
∵,
∴②,
解得t=,
∴AE=,
綜上所述,滿足條件的AE的值為3或或或.
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分?jǐn)?shù)段(表示分?jǐn)?shù)) | 頻數(shù) | 頻率 |
4 | 0.1 | |
8 | ||
0.3 | ||
10 | 0.25 | |
6 | 0.15 |
(1)請求出該校隨機(jī)抽取了____學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計;
(2)表中____,____,并補(bǔ)全直方圖;
(3)若用扇形統(tǒng)計圖描述此成績統(tǒng)計分布情況,則分?jǐn)?shù)段對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是___;
(4)若該校共有學(xué)生8000人,請估計該校分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有多少人?
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①;
②>;
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