【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+m經(jīng)過(guò)E(2,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)).
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交于點(diǎn)是H,點(diǎn)F是AE中點(diǎn),連接FH.求線段FH的長(zhǎng);
(3)P為直線AE上方拋物線上的點(diǎn).當(dāng)△AEP的面積最大時(shí).求P點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+4;(2);(3)當(dāng)t=時(shí),S△PAE有最大值,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為()
【解析】(1)、將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入解析式求出函數(shù)解析式;(2)、根據(jù)二次函數(shù)的解析式分別求出點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)H的坐標(biāo),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的求法得出點(diǎn)F的坐標(biāo),最后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出答案;(3)、過(guò)P作PG∥y軸,交直線AE于點(diǎn)G,首先利用待定系數(shù)法求出直線AE的函數(shù)解析式,設(shè)P(t,﹣(t﹣1)2+4),則G(t,t+1),根據(jù)三角形的面積等于鉛垂×水平÷2得出函數(shù)解析式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值.
(1)∵y=﹣(x﹣1)2+m經(jīng)過(guò)E(2,3),∴3=﹣(2﹣1)2+m,解得m=4,
∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+4;
(2)在y=﹣(x﹣1)2+4中,令y=0可得﹣(x﹣1)2+4=0,解得x=3或x=﹣1,
∴A(﹣1,0),∵F是AE的中點(diǎn),且E(2,3)∴F(,),
由拋物線解析式可求得拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=1,∴H(1,0),
∴FH==;
(3)如圖,過(guò)P作PG∥y軸,交直線AE于點(diǎn)G,設(shè)直線AE解析式為y=kx+b,
∴,解得,∴直線AE解析式為y=x+1,
∵P為直線AE上方拋物線上的點(diǎn),∴設(shè)P(t,﹣(t﹣1)2+4),則G(t,t+1),
∴PG=﹣(t﹣1)2+4﹣(t+1)=﹣t2+t+2=﹣(t﹣)2+,
∴S△PAE=PG[2﹣(﹣1)]= PG=﹣(t﹣)2+,
∵﹣<0, ∴當(dāng)t=時(shí),S△PAE有最大值,此時(shí)P點(diǎn)坐為().
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在圖中網(wǎng)格上按要求畫(huà)出圖形,并回答問(wèn)題:
(1)如果將三角形平移,使得點(diǎn)平移到圖中點(diǎn)位置,點(diǎn)、點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn),請(qǐng)畫(huà)出三角形;
(2)畫(huà)出三角形關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的三角形.
(3)三角形與三角形______(填“是”或“否”)關(guān)于某個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)?如果是,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,并記作點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=(x>0,m>1)圖象上一點(diǎn),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)B(0,﹣m)是y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn),連接AB,AC⊥AB,交y軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D,使得AD=AC,過(guò)點(diǎn)A作AE平行于x軸,過(guò)點(diǎn)D作y軸平行線交AE于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)m=3時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)DE= ,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍;
(3)連接BD,過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線,與(2)中的函數(shù)圖象交于點(diǎn)F,當(dāng)m為何值時(shí),以A、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑OA⊥OC,點(diǎn)D在上,且=2,OA=4.
(1)∠COD= °;
(2)求弦AD的長(zhǎng);
(3)P是半徑OC上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AP、PD,請(qǐng)求出AP+PD的最小值,并說(shuō)明理由.
(解答上面各題時(shí),請(qǐng)按題意,自行補(bǔ)足圖形)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)給出的數(shù)軸及已知條件,解答下面的問(wèn)題:
(1)已知點(diǎn),,表示的數(shù)分別為1,,-3.觀察數(shù)軸,與點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)表示的數(shù)是____,,兩點(diǎn)之間的距離為_____.
(2)數(shù)軸上,點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)表示的數(shù)是_____.
(3)若將數(shù)軸折疊,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合,則與點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)是_____;若此數(shù)軸上,兩點(diǎn)之間的距離為2019(在的左側(cè)),且當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)也恰好重合,則點(diǎn)表示的數(shù)是_____,點(diǎn)表示的數(shù)是_____;
(4)若數(shù)軸上,兩點(diǎn)間的距離為 (在左側(cè)),表示數(shù)的點(diǎn)到,兩點(diǎn)的距離相等,將數(shù)軸折疊,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)表示的數(shù)是_____,點(diǎn)表示的數(shù)是_____(用含,的式子表示這兩個(gè)數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【問(wèn)題原型】如圖1,在四邊形ABCD中,∠ADC=90°,AB=AC.點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn),連結(jié)EF,DE.試說(shuō)明:DE=EF.
【探究】如圖2,在問(wèn)題原型的條件下,當(dāng)AC平分∠BAD,∠DEF=90°時(shí),求∠BAD的大小.
【應(yīng)用】如圖3,在問(wèn)題原型的條件下,當(dāng)AB=2,且四邊形CDEF是菱形時(shí),直接寫(xiě)出四邊形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017浙江省湖州市)如圖,已知∠AOB=30°,在射線OA上取點(diǎn)O1,以O1為圓心的圓與OB相切;在射線O1A上取點(diǎn)O2,以O2為圓心,O2O1為半徑的圓與OB相切;在射線O2A上取點(diǎn)O3,以O3為圓心,O3O2為半徑的圓與OB相切;…;在射線O9A上取點(diǎn)O10,以O10為圓心,O10O9為半徑的圓與OB相切.若⊙O1的半徑為1,則⊙O10的半徑長(zhǎng)是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列兩段材料,回答下列各題:
材料一:規(guī)定:求若干個(gè)相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運(yùn)算叫做除方,如:,等,類(lèi)比有理數(shù)的乘方,我們把記作,讀作“2的圈3次方”,記作,讀作“的圈4次方”,一般地,把記作,讀作“的圈次方”.
材料二:求值:. 解:設(shè),將等式兩邊同時(shí)乘以2得:將下式減去上式得即
(1)直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果:
(2)我們知道,有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算,除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算,有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢?試一試:將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫(xiě)成冪的形式: (且為正整數(shù))
(3)計(jì)算
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